《人教A版高中数学必修一3.3《函数的奇偶性》讲义及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学必修一3.3《函数的奇偶性》讲义及答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的奇偶性知识剖析1 函数奇偶性的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有-xI，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有-xI，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.2 性质 偶函数关于y轴对称； 奇函数关于原点对称； 若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0； 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数3 判断函数奇偶
2、性的方法 定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(-x) , 看下与f(x)的关系：若f-x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f-x=-f(x)，则y=fx是奇函数. 数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数. 取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到f(1)f(-1)，则排除f(x)是偶函数. 性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.对于复合函数Fx=f(g(x)的奇偶性如下图g(x)
3、f(x)Fx偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数 经典例题【题型一】对函数奇偶性概念的理解角度1 函数奇偶性的概念【典题1】 已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1 , 2a上的偶函数，那么a+b的值是 . 【解析】依题意得f(-x)=f(x)，b=0，又 a-1=-2a(奇偶函数的定义域关于原点对称)，a=13，a+b=13【典题2】 f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是_：1f-x+fx=0; 2f-x-fx=-2 fx;3fxf-x0; 4fxf-x=-1【解析】根据奇函数的定义可知f(-x)=-f(x)，则(1)，(2)正确；对于3
4、，fxf-x=-f2(x)0 , 故正确；对于(4)，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0 , 则(4)不正确，故答案为：(4).角度2 判断函数的奇偶性情况1 具体函数的奇偶性判断【典题1】函数f(x)=4-x2|x+3|-3的图象关于 对称【解析】要使函数有意义，则4-x20|x+3|-30，即(x-2)(x+2)0，解得-2x0或0x2，则定义域关于原点对称此时x+3=x+3，则函数fx=4-x2x+3-3=4-x2x+3-3=4-x2x，(化简函数形式很重要)f-x=-4-x2x=-f(x)， 函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，【点拨】本题利用定义法判断函数的奇偶性，首先
5、判断定义域是否关于原点对称，这点很重要； 情况2 抽象函数的奇偶性判断【典题1】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A.f(x) f(-x)是奇函数 B.f(x) |f(-x)|是奇函数 C.f(x)- f(-x)是奇函数 D.f(x) +f(-x)是奇函数【解析】方法一 定义法A选项：设F(x)=f(x)f(-x)，则F(-x)=F(x)为偶函数B选项：设G(x)=f(x)|f(-x)|， 则G(-x)=f(-x)|f(x)|.G(x)与G(-x)关系不定C选项：设Mx=fx-f-x, M-x=f-x-fx=-M(x)， M(x)为奇函数D选项：设N(x)=f(x)f(-x
6、) , 则N(-x)=f(-x)f(x)N(x)为偶函数故选C.方法二 取特殊函数排除法令fx=x，可知Fx=fxf-x=x2是偶函数，排除A，令fx=x2，可知Fx=fxf-x=x4是偶函数，排除B，可知Nx=fxf-x=2x2是偶函数，排除D.【点拨】 判断函数的奇偶性，一般利用定义法：先判断定义域是否关于原点对称，再求f(-x)，看下与f(x)的关系.偶尔结合函数图像也可以. 判断抽象函数的奇偶性时，可以通过“取特殊函数排除法”. 一般情况下，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数.巩固练习1() 下列函数中，是偶函数的是()Ay=|x
7、2+x|By=2xCy=x3+xDy=lgx【答案】 B 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，y=|x2+x|，f(-x)=|x2-x|f(x)，函数f(x)不是偶函数，不符合题意；对于B，y=2x，f(-x)=2-x=2x=f(x)，函数f(x)是偶函数，符合题意；对于C，y=x3+x，f(-x)=-(x3+x)=-f(x)，函数f(x)是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D，y=lgx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：B2() 函数f(x)=9x+13x的图象关于()对称A原点By=xCx轴Dy轴【答案】D 【解析】f(x)=9x+13x=9x3x+13x=3x+3-x则f(
8、-x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，则函数f(x)的图象关于y轴对称，故选：D3() 若函数f(x)的定义域是R，且对任意x , yR，都有f(xy)=f(x)f(y)成立试判断f(x)的奇偶性【答案】 奇函数【解析】在fx+y=fx+f(y)中，令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0.再令y=x，则f(xx)=f(x)+f(x)，即f(x)+f(x)=0，f(x)=f(x)，故f(x)为奇函数【题型二】函数奇偶性的运用角度1 已知函数奇偶性，求值问题【典题1】设f(x)为定义上R上的奇函数，当x 0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，求f(-1).【解析】
9、因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=02020b=0，解得b=-1，所以当x0时，fx=2x2x-1 , 又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-(21+2 1-1)=-3，故选A【点拨】若奇函数y=f(x)定义域内为I，且0I，则有f0=0.【典题2】 若函数F(x)=f(x)-2x4是奇函数，G(x)=f(x)+(12)x为偶函数，则f-1= .【解析】函数F(x)=f(x)-2x4是奇函数，F(1)+F(-1)=0，即f(1)-2+f(-1)-2=0，则f(1)+f(-1)=4 ，G(x)=f(x)+(12)x为偶函数，G(1)=G(-1)，即f(1
10、)+12=f(-1)+2，则f(1)-f(-1)=32 ，由-解得f(-1)=4-322=54角度2 判断函数的图像【典题1】 函数f(x)=x32-x-2x的图象大致为()A BC D【解析】函数的定义域为x|x0关于原点对称，且f(-x)=-x32x-2-x=x32-x-2x=f(x)，(或由y=x3,y=2-x-2x均是奇函数，得f(x)=x32-x-2x是偶函数)即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又f1=12-1-2=-230的解集为 ()Ax|-3x-1Bx|-3x2Cx|-3x3Dx|-1x1或1x0，所以(x-1)与f(x-1)同号，由图象可得-2x-10或
11、0x-12，解得-1x1或1xf(x-4)成立的x的取值范围为()A13 , 1 B(-1 , 32) C(- , 32) D(- , -1)(32 , +)【解析】方法一 f(x)=lg(x2+1)由f(3x-2)f(x-4)得lg3x-22+1lgx-42+1，(代入原函数暴力求解)则3x-22+1x-42+1，解得x32.方法二 根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(-x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间0 , +)上，t=x2+1为增函数且t1，y=lgt在区间1 , +)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在0 , +)上为增函数，f(3x-2)f(x-4)f(|3x-2|)f(|x-4|)|3x-2|x-4|，解得x32，故选：D【点拨】
