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1、指数与对数型函数一、单选题1函数是的奇函数， 是常数不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为ABCD2若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为ABCD3第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、解答题3已知函数.（1）若为奇函数，求的值；（2）证明：无论为何值，在上为增函数；（3）解不等式：.4已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）若，且求的取值范围.5设函数（且）（1）若，判断的单调性（2）若，在的取值范围.6设，函数（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；（2）已知（i）判断并证明函数的单调性；（ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围7已知奇函数，.（1）求实数a的值；（2）
2、判断在上的单调性并进行证明；（3）若函数满足，求实数m的取值范围.8定义在上的奇函数，已知当时，（1）求在上的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围9已知函数，（且，为常数），若为上的奇函数，且满足（1）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）；（2）对任意不等式恒成立，求实数的取值范围10已知定义域为的函数是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.11已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为，求的值.12已知函数为奇函数，为偶函数（1）求的值（2）设，若对于恒成立，求实数的取值范围13已知函数（1）求f（x）的定义域及单调区间；（2
3、）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；（3）设函数，若不等式f（x）g（x）在x（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围14已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）若对于任意x恒成立，求实数b的取值范围15设函数，且（1）求的值；（2）若令，求实数t的取值范围；（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值16已知函数，.（1）求的值；（2）试求出函数的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）（3）若函数，且对，都有成立，求实数的取值范围.17已知函数是奇函数（1）求的值（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围18已知
4、函数，其中a为常数.（1）当时，求函数的值域；（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1A【分析】先根据奇偶性求出，然后判断函数的单调性，结合性质把转化为，求解的最小值可得.【详解】因为是的奇函数，所以，所以；因为，所以可得，此时，易知为增函数.因为所以，即，因为，所以.故选A.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，综合利用奇偶性和单调性把抽象不等式转化为具体不等式求解，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，最值问题常用基本不等式求解，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2A【分析】先由函数解析式得函数在给定区间单调，根据题意列出方程，即可求出结果.【详解】易知在上单调，因此，在上的
5、最值在区间端点处取得，由其最大值与最小值之和为可得，即，化简得，解得.故选A【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数单调性的应用，熟记性质即可，属于常考题型.3（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）先根据求得，再检验即可得答案；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3），进而根据（1）（2）得为上增函数，奇函数，再根据奇偶性与单调性解不等式即可.【详解】（1）因为为上奇函数，所以，即，解得，此时，检验满足，所以（2）.任取，则因为，所以，故.因此，在上为增函数.（3）令，由（1）（2）知，为上增函数，奇函数不等式，可化为，即.因为为上奇函数，所以，所以，又因为为上增函数，所以，解得所以
6、不等式的解集为4（1）；（2）【分析】（1）根据，列出方程即可求得答案；（2）由，得，所以，然后逐步转化即可得到答案.【详解】（1）是奇函数，且定义域为，即，解得,经检验是奇函数；（2）由（1）得，又，即，解得，综上，.5（1）单调递增，理由见解析；（2）【分析】（1）由求出的范围，再判断单调性即可求解；（2）由求出的值，可得，再利用换元法求函数的值域即可.【详解】（1），又因为且，所以，是上的增函数，证明如下：设任意的，则，因为，所以单调递增，所以，而，所以，即，所以在上单调递增；（2）由，解得：或（舍），所以，所以，令，则因为在单调递增，所以，因为，对称轴为，开口向上，所以当时，所以，所以
7、在的取值范围是.6（1）证明见解析；（2）（i）函数为上的单调增函数，证明见解析；（ii）.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明；（2）先由，求得函数的定义域为（i）再利用函数单调性的定义证明； （ii）根据（i）知，函数为上的单调增函数，结合函数在区间上的值域是，得到，进而转化为关于的方程有两个互异实根求解【详解】（1）证明：因为，所以，由得函数的定义域为，又所以函数为定义域上的奇函数（2）当时，因为，所以，所以函数的定义域为（i）结论：函数为上的单调增函数证明：设对任意的，且，因为，所以即因为，所以，又，所以，即，所以函数为上的单调增函数（ii）因为，所以，从而又由知，所以，因为，由（i
8、）知，函数为上的单调增函数因为函数在区间上的值域是，所以，即从而关于的方程有两个互异实根令，所以方程有两个互异正根所以，解得.7（1）；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【分析】（1）由奇函数的性质有，即可求参数a，并验证奇函数.（2）利用函数单调性的定义：取，结合解析式判断的符号即可；（3）根据的奇偶性得，再由单调性有，即可求m的范围.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即，可得.，则，符合题设.（2）证明：由（1）可知，.任取，则 ，即在上单调递增.（3）为奇函数，又在上是奇函数，可化为，又由（2）知在上单调递增，解得.8（1）；（2）.【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有，即可
9、求出的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；（2）参变分离后构造函数，根据函数的单调性即可求出最大值，从而可以求出结果.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，所以，解得，所以时，当时，所以，又，所以，即在上的解析式为.（2）因为时，所以可化为，整理得，令，根据指数函数单调性可得，与都是减函数，所以也是减函数，所以，故数的取值范围是.9（1），在上单调递增；（2）.【分析】（1）由奇函数定义得值，利用复合函数单调性可得的单调性；（2）利用奇偶性和单调性把不等式变形，再用分离参数法转化为求函数的最值【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，解得此时，即函数为上的奇函数由得，单调递减，且，因此单调递
10、增，所以在上单调递增（2）因为函数为上的奇函数所以不等式可化为 由于为上的单调增函数所以不等式等价于因为，所以有恒成立又由于当时，（当且仅当时等号成立）所以10（1），；（2）.【分析】（1）利用奇函数定义，在中，运用特殊值求，的值,再验证即可.（2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，然后参变量分离为：即在恒成立，设，最后求的最小值即可求出的取值范围.【详解】解：（1）因为函数是奇函数，所以有，即，解得，从而有.又由知，得.当，则，则，所以，即，所以为奇函数. 所以，.（2）由，由上式易知，函数在是单调递减函数，又函数是奇函数，从而不等式等价于，再由
11、函数的单调性知，上述不等式等价于，即对一切，不等式总成立，即在恒成立.考察函数，是增函数，所以，所以满足题意的实数的取值范围是.11（1）；（2）.【分析】（1）使式子有有意义可得，解不等式组即可求解.（2），讨论的取值，利用对数函数的单调性即可求解.【详解】解：（1）若有意义，则，解得，故的定义域为；（2）由于令，则时，无最小值. 时，在上是减函数，又，则，即，解得或（舍）故若函数的最小值为，则.12（1）；（2）【分析】（1）由为定义在上的奇函数，得，解得；再根据偶函数满足，比较系数可得，由此即可得到的值（2）依题意函数的解析式，即可求出，再根据的单调性，求出其最小值，依题意可得，再解对数
12、不等式即可；【详解】解：（1）因为定义域为，且为奇函数，所以，解得，所以，则，所以为奇函数，故满足条件；又为偶函数，所以，即，即，即，所以，解得，所以（2）由（1），所以，又因为在区间上是增函数，所以当时，所以由题意，得，因此，实数的取值范围是：13（1）定义域为（1，3）；f（x）的单调增区间为（1，1，f（x）的单调减区间为1，3）；（2）当x1时，函数f（x）取最大值1；（3）a2【分析】（1）利用对数的真数大于零即可求得定义域，根据复合函数的单调性“同增异减”即可求得单调区间；（2）根据函数的单调性即可求解；（3）将f（x）g（x）转化为x2ax10在x（0，3）上恒成立，即a（x）在
13、x（0，3）上恒成立，即即可，结合基本不等式即可求解.【详解】解：（1）令2x3x20，解得：x（1，3），即f（x）的定义域为（1，3），令t2x3x2，则，为增函数，x（1，1时，t2x3x2为增函数；x1，3）时，t2x3x2为减函数；故f（x）的单调增区间为（1，1；f（x）的单调减区间为1，3）（2）由（1）知当x1时，t2x3x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；（3）若不等式f（x）g（x）在x（0，3）上恒成立，则2x3x2（a2）x4在x（0，3）上恒成立，即x2ax10在x（0，3）上恒成立，即a（x）在x（0，3）上恒成立，当x（0，3）时，x2，则（x）2，故a214（1）；（2）.【分析】（1）利用偶函数的特点，得到关于的方程，解出;（2）对于任意x恒成立，即对于任意x恒成立，令，只需求出令的最小值即可，利用基本不等式及对数函数单调性来求最小值，从而得出 的范围.【详解】（1）因为函数是偶函数，所以 ，即 ， ，解得 .（2）对于任意x恒成立，即，亦即对于任意x恒成立，令，则有 ，因为 ，所以，即 ，故 .【点睛】结合偶函数的特点来求解，可以利用特殊值；第二问中分离参数是解决恒成立问题的常用办法，特别注意式子的化简，利用基本不等式以及对数函数单调性求最小值
