《人教A版高中数学必修一3.2《函数的单调性》讲义及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学必修一3.2《函数的单调性》讲义及答案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的单调性知识剖析1 函数单调性的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间DI:如果x1 , x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递增(图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果x1 , x2D，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递减(图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.Eg：y=1x在(0,+)上单调递减，但它不是减函数，特别注意它的减区间是0,+,(-,0)，不是0,+(-,0).2 单调性概念的拓展 若y=f(x)递增，x2x1，则fx2f(x1).比如
2、：y=f(x)递增，则f(a2 )f(0). 若y=f(x)递增，fx2f(x1)，则x2x1.比如：y=f(x)递增 , f(1-m)f(n) , 则1-mn.y=f(x)递减，有类似结论！3 判断函数单调性的方法 定义法解题步骤(1) 任取x1 , x2D，且x1f(-a)+f(-b)【解析】ab0 , a-b , b-a又函数fx在R上是增函数，faf-b , fbf-af(a)f(b)f(-a)f(b)故选C.【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意xR，都有f(fx-2x)=3，则f(3)的值等于 . 【解析】 函数f(x)在R上是单调函数 可设fx-2x=t (t是个常
3、数)，则f(x)=2x+t；ft=2t+t=3；f(t)在R上单调递增，只有t=1时对应的函数值是3，即f(1)=3；f(x)=2x+1；f(3)=9【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个x对应一个y，所以题目中“f(x)2x”只能是个常数.巩固练习1() 设aR，函数f(x)在区间(0 , +)上是增函数，则()Af(a2+a+2)f(74)Bf(a2+a+2)f(74)Cf(a2+a+2)f(74)Df(a2+a+2)f(74) 【答案】 C【解析】根据题意，a2+a+2=a+122+7474，又由函数f(x)在区间(0，+)上是增函数，则有f(a2+a+2)f(74)
4、；故选：C2() 已知f(x)是定义在0 , +)上单调递增的函数，则满足f(2x-1)f(13)的x取值范围是 . 【答案】12 , 23) 【解析】f(x)是定义在0，+)上单调递增的函数，不等式f(2x-1)f(13)等价为02x113，即12x23，即不等式的解集为12，23)，【题型二】 判断函数单调性的方法方法1 定义法【典题1】判断f(x)=x+4x在(0 , 2) , (2 , +)的单调性.【解析】设0x1x2 , 则y1-y2=(x1+4x1)-(x2+4x2)=(x1-x2)+(4x1-4x2) =(x1-x2)+4x2-x1x1x2=(x1-x2)(1-4x1x2) (
5、因式分解方便判断差y1-y2的正负)(1) 假如0x1x22 , 则0x1 x211-4x1x20 ,又 x1-x20 y1y2 , 故函数单调递减；(2) 假如2x14 4x1x20 , 又x1-x20 , 所以y1-y20 y1y2 , 故函数单调递增；所以函数在(0 , 2)内单调递减，在(2 , )内单调递增【点拨】利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元作差变式定号下结论.方法2 数形结合【典题2】函数fx=x1-x的单调增区间是 () A.- , 1 B.- , 11 , + C .- , 1 , 1 , + D .(- , -1) , (-1 , +)【解析】fx
6、=-1-x+11-x=-1+11-x=-1x-1-1; (分离常数法)f(x)的图象是由y=-1x的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移1个单位得到, 如下图 f(x)的单调增区间是( , 1) , (1 , )故选C(切勿选B)【点拨】 本题先利用分离常数法，再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性. 利用数形结合的方法，平时需要多注意函数图像的变换，包括平移变换、对称变换、翻转变换等.方法3 复合函数的单调性【典题3】函数fx=x2+4 x-12 的单调减区间为 . 【解析】函数fx=x2+4 x-12是由函数fu=u和ux=x2+4 x-12组成的复合函数， x2+
7、4 x-120 , 函数y=fx的定义域是x-6或x2(优先考虑定义域，否则容易选B)由二次函数图像易得ux=x2+4 x-12在(- , -6单调递减，在2 , )单调递增，而fu=u在u0是单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(-,-6 【点拨】 研究函数的基本性质，优先考虑定义域； 研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.巩固练习1() 下列四个函数在(-,0)是增函数的为()Afx=x2+4Bfx=1-2xCfx=-x2-x+1Df(x)=2-3x【答案】D【解析】对于A：fxx2+4，二次函数，开口向上，对称轴为y轴，在(，0)是减函数，故A不
8、对对于B：f(x)12x，一次函数，k0，在(，0)是减函数，故B不对对于C：f(x)x2x+1，二次函数，开口向下，对称轴为x=12，在(，12)是增函数，故C不对对于D：f(x)2-3x，反比例类型，k0，在(，0)是增函数，故D对故选：D2()设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()Ay=1f(x)在R上为减函数 By=|f(x)|在R上为增函数Cy=-1f(x)在R上为增函数 Dy=-f(x)在R上为减函数【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，若f(x)x，则y=1f(x)=1x，在R上不是减函数，A错误；对于B，若f(x)x，则y|f(x)|x|，在R上
9、不是增函数，B错误；对于C，若f(x)x，则y=-1f(x)=-1x，在R上不是增函数，C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1、x2R，设x1x2，必有f(x1)0，则yf(x)在R上为减函数，D正确；故选：D3() 函数f(x)=x|x-2|的递减区间为 【答案】(1 , 2) 【解析】当x2时，f(x)x(x2)x22x，对称轴为x1，此时f(x)为增函数，当x2时，f(x)x(x2)x2+2x，对称轴为x1，抛物线开口向下，当1x0；g(x)为减函数，gxf(a-1)，则实数a的取值范围是 .【解析】y=(12)x和y=-x3在R上都单调递减，f(x)=(12)x-x3
