《人教A版高中数学必修一3.5.5《抽象函数》讲义及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学必修一3.5.5《抽象函数》讲义及答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抽象函数知识剖析1概念我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2 常见抽象函数模型特殊模型抽象函数正比例函数fx=kx(x0)fx+y=fx+f(y)幂函数fx=xfxy=fxf(y)或fxy=fxfy指数函数fx=ax (a0且a1)fx+y=fxf(y)或fx-y=fxfy对数函数fx=logax (a0且a1)fxy=fx+f(y)或fxy=fx-f(y)经典例题【题型一】求值问题【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+)上的函数，且对任意x ,y(0 ,+)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).【解析】
2、对任意x，y(0 ,+)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，f(4)=f(22)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(24)=f(2)+f(4)=3【点拨】 对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解； 抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数fx=logax型，由f(2)=1可知fx=log2x，则易得f4=2，f8=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)=f(x)f(y)可令fx=ax，又因f(1)=2，得fx=2x，故易得f3=8.故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.【典题2】对任意实数x , y，均满
3、足fx+y2=fx+2fy2且f(1)0， 则f(2001)=_.【解析】令x=y=0，得f(0)=0，令x=n , y=1，得fn+1=fn+2f12 令n=1，得f1=f0+2f12=2f12， f1=12， fn+1-fn=12，fn=n2，即f2001=20012.【点拨】 常常需要赋予一些特殊值(如取x=0等)或特殊关系(如取y=x， y=-x等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律； 比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.【题型二】单调性问题设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个
4、条件对任意正数x , y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；当x1时，f(x)0；f3=-1(1)求f(1) , f(19)的值；(2)证明f(x)在R+是减函数；(3)如果不等式f(x)+f(2-x)x10，则x2x11 由得 f(x2x1)0f(xy)=f(x)+f(y)fx2-f(x1)=f(x2x1)0 f(x)在R+上为减函数(3)由条件得fx(2-x)2 , (凑项fm=2，再利用单调性求解)由f19=2得fx2-x19又x0，2-x0，(注意函数定义域)解得x的范围是(1-223 , 1+223)【点拨】 抽象函数的单调性常用单调性定义证明u 任取x1 , x2D，且x1x2；
5、u 作差f(x1)f(x2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出f(x1)f(x2)此步有时也会用作商法：判断fx1fx2与1的大小；u 变形；u 定号(即判断差fx1-f(x2)的正负)；u 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性) 在解不等式时，往往需要利用函数的单调性求解. 抽象函数fxy=fx+fy符合对数函数fx=logax型，由f3=-1可知fx=log13x，作选填题可用.【题型三】奇偶性问题定义在R上的增函数y=f(x)对任意x , yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)，则(1)求f(0)； (2)证明：f(x)为奇函数；(3)若f(k3x)+f(3x-9x-
6、2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围【解析】(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0可得，f(0)=f(0)+f(0)，则f(0)=0，(2) (定义法证明函数奇偶性)令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)，即可证得f(x)为奇函数；(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数，fk3x-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，即有k3x-3x+9x+2，得k3x+23x-1，(分离参数法)又有3x+23x-122-1(当x=log32时取到等号)，即3x+23x-1有最小值22-1，所以要使f(
7、k3x)+f(3x-9x2)0恒成立，只要使k0，选填题可用.【题型四】周期性问题奇函数f (x)定义在R上，且对常数T0，恒有f (x + T ) = f (x)，则在区间0 , 2T上，方程f (x) = 0根的个数最小值为 .【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，又f(x+T)=f(x)，即周期为T，f(2T)=f(T)=f(0)=0，又由f(-T2)=f(-T2+T)=f(T2)，且f-T2=-f(T2)f(T2)=0，f(3T2)=f(T2)=0，故在区间0 , 2T，方程f(x)=0根有x=0，T2，T，3T2，2T，个数最小值是5个，【点拨】 抽象函数的周期性
8、常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.巩固练习1() f(x)的定义域为(0 , +)，对任意正实数x , y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2，则f(2)= . 【答案】 12 【解析】取x=y=2，得f(4)=f(2)+f(2) f(2)=1；取x=y=2，得f(2)=f(2)+f(2) f(2)=12；2()已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR都有fx+2-12=2f(x)-f2(x)，则f(2019)= 【答案】 122【解析】根据题意，f(x)为偶函数且f(x)满足fx+2-12=2f(x)-f2(x)，变形可
9、得fx+2-12+f2(x)-2f(x)+1=1，即fx+2-12+fx-12=1，令x=-1可得f-1-12+f1-12=1，即2f1-12=1，解可得：f(1)=f(-1)=122， 又由f(x)满足fx+2-12+fx-12=1，则有fx+4-12+fx+2-12=1，联立可得：fx+4-12=fx-12，变形可得：f(x+4)=f(x)或f(x+4)+f(x)=2，若f(x+4)=f(x)，则有f(2019)=f(-1+5054)=f(-1)=122，此时有f(2019)=122，若f(x+4)+f(x)=2，即f(x+4)=2-f(x)，则有f(x+8)=2-f(x+4)=f(x)，
10、则有f(2019)=f(3+2016)=f(3)，则f(3)=2-f(-1)=122，综合可得：f(2019)=122，故答案为：1223() f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间-6 , 6内解的个数的最小值是 . 【答案】 13 【解析】f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，f(x+3)=f(x)，且f(x)=f(x)，则f(0)=0，则f3=f6=f-6=f0=0，f-3=-f(3)=0，f(2)=0，f(5)=f(-1)=f(-4)=0，f(-5)=0，f(1)=0，f(4)=0，f(2)=0，方程的解可能为0，3，6，6，3，2，5，
11、-5，-2，1，1，4，-4共13个，故选：D4 () 已知定义在(- , 0)(0 , +)上的函数f(x)满足对任意x , y(- , 0)(0 , +)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；当x1时，f(x)0且f(2)=1；(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间-4 , 0)(0 , -4上的最大值；(3)求不等式f(3x-2)+f(x)4的解集 【答案】(1)偶函数 (2)2 (3)x-2或x83【解析】 (1)f(xy)=f(x)+f(y)；令x=y=a，则f(a2)=f(a)+f(a)=2f(a)，令x=y=-a，则f(a2)=f(-a)+f(-a)=2f
12、(-a)，即f(a)=f(-a)，故函数f(x)是偶函数，(2)任取0x10，f(xy)=f(x)+f(y)；f(xy)f(x)=f(y)；f(x2)f(x1)=f(x2x1)x2x11，x1时，f(x)0，f(x2)f(x1)=f(x2x1)0，得到f(x1)f(x2)，f(x)为(0，+)上的增函数故函数f(x)在区间(0，4上的最大值为f(4)=f(2)+f(2)=2，又由函数f(x)是偶函数，函数f(x)在区间4，0)上的最大值也为2，故函数f(x)在区间4，0)(0，4上的最大值为2；(3)由(2)得f(4)=2，则f(16)=f(6)+f(6)=4，故不等式f(3x2)+f(x)4可化为：f(3x2)xf(16)，由(2)中结论可得：|(3x2)x|16，即(3x2)x16或(3x2)x16，解得x2或x835 () 已知定义在(0 , +)的函数f(x)，对任意的x、y(0 , +)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当0x0(1)证明：当x1时，f(x)1时，01x0f(x)=f(1x)0(2)任取x1，x2(0，+)，且x1x2，则f(x2)f(x1)=f(x2x1)x11，则f(x2x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，+)上是减函数，(3)f(
