《(暑期班)高一数学衔接班讲练专题10圆（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(暑期班)高一数学衔接班讲练专题10圆（教师版）（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题10圆专题综述课程要求平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破.直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点.常用的结论包括：1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项5.割线定
2、理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等课程要求初中课程要求1、圆的基本性质2、垂径定理3、点与圆的位置关系4、点、直线与圆的位置关系5、正多边形与圆、弧长、扇形面积高中课程要求1、握圆的标准方程与一般方程2、能判断直线与圆、圆与圆的位置关系3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题知识精讲高中必备知识点1：直线与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，
3、如圆与直线.在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，且在中，.如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.高中必备知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的
4、所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已知线段两个端点的距离
5、相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.典例剖析高中必备知识点1：直线与圆的位置关系【典型例题】在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（3，1），C（3，1），D（22）（1）画出ABC的外接圆P，并指出点D与P相的位置关系；（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与P相切，求点E的坐标【答案】（1）见解析，点D在P上；（2）E（0，3）【解析】（1）如图所示：ABC外接圆的圆心为（1，0），点D在P上；（2）连接PD，直线DE与P相切，PDPE，利用网格过点D做直线的DFPD，则
6、F（6，0），设过点D，E的直线解析式为：ykx+b，D（2，2），F（6，0），-2k+b=-2-6k+b=0，解得：k=-12b=-3，直线DE解析式为：y12x3，x0时，y3，E（0，3）【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”（1）已知点A的坐标为（3，1）在点E（0，3）、F（3，3）、G（2，5）中，点A的“等距点”是 ；若点B在直线yx+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；（2）直线l：ykx3（k0）与x轴交于
7、点C，与y轴交于点D若T1（1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；当k1时，半径为r的O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围【答案】（1）E、F；（3，3）；（2）k的值为1或2；32r32【解析】（1）点A（3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，与A点是“等距点”的点是E、F点B在直线yx+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（3，3）、（9，3），这些点中与A符合“等距点”的是（3，3）故答案为E、F；（3，3）；（2）T1（1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两
8、点，t1k3，t4k3k0，|k3|k+33，4k33依据“等距点”定义可得：当34k34时，k+34，解得k1；当4k34时，k+34k3，解得k2综上所述，k的值为1或2k1，yx3与坐标轴交点C（0，3）、D（3，0），线段CD32N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为32，若半径为r的O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为32，r的最大值为CD长度32所以r的取值范围为32r32故答案为E、F；（3，3）【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,3)、B(3,3)、C(4,2)(1)请在图中作出经过点A、B、C三点的M，并写出圆心M的坐标；(2)若D(1,
9、4)，试判断直线BD与M的位置关系，并说明理由【答案】(1)如图所示见解析，圆心M的坐标为(2,1)；(2) 直线BD与M相切，理由见解析.【解析】(1)如图所示，M即为所求由图知，圆心M的坐标为(2,1)；(2)连接MB，DB，DM，DB=5，BM=5，DM=10，DB2+BM2=DM2，DBM是直角三角形，DBM=90，即BMDB，直线BD与M相切高中必备知识点2：点的轨迹【典型例题】如图，点A(-4,3)，将ABC绕点O旋转180得到ABC.（1）请在图中画出ABC，并写出点A的坐标；（2）求旋转过程中A点的轨迹长.【答案】（1）图形见解析, A(4,-3)；(2)5.【解析】解：（1）
10、如图所示，ABC即为所求出；A(4,-3)；（2）连接OA，OA=32+42=5，旋转过程中A点的轨迹长=1805180=5.【变式训练】阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=x1-x22+y1-y22如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|=1-32+2-42=22对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+12交y轴于点A，点A关于x轴的对称点
11、为点B，过点B作直线l平行于x轴（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是 ；（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+12交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：EF是AMN外接圆的切线；1AE+1AF为定值【答案】（1）x2+（y12）2=1；（2）动点C轨迹的函数表达式y=12x2；（3）证明见解析；证明见解析.【解析】（1）设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为（x，y），AD2=x2+（y12）2，直线y=kx+12交y轴于点A，A（0，12），点
12、A关于x轴的对称点为点B，B（0，12），AB=1，点D到点A的距离等于线段AB长度，x2+（y12）2=1，故答案为：x2+（y12）2=1；（2）过点B作直线l平行于x轴，直线l的解析式为y=12，C（x，y），A（0，12），AC2=x2+（y12）2，点C到直线l的距离为：（y+12），动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，x2+（y12）2=（y+12）2，动点C轨迹的函数表达式y=12x2；（3）如图，设点E（m，a）点F（n，b），动点C的轨迹与直线y=kx+12交于E、F两点，y=12x2y=kx+12，x22kx1=0，m+n=2k，mn=1，过E、F作直线l
13、的垂线，垂足分别是M、N，M（m，12），N（n，12），A（0，12），AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）22mn+2=4k2+4，MN2=（mn）2=（m+n）24mn=4k2+4，AM2+AN2=MN2，AMN是直角三角形，MN为斜边，取MN的中点Q，点Q是AMN的外接圆的圆心，Q（k，12），A（0，12），直线AQ的解析式为y=1kx+12，直线EF的解析式为y=kx+12，AQEF，EF是AMN外接圆的切线；点E（m，a）点F（n，b）在直线y=kx+12上，a=mk+12，b=nk+12，ME，NF，EF是AMN的外接圆的切线，AE=ME=a+12=m
14、k+1，AF=NF=b+12=nk+1，1AE+1AF=1mk+1+1nk+1=m+nk+2mnk2+m+nk+1=2k2+2-k2+2kk+1=2，即：1AE+1AF为定值，定值为2【能力提升】在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹例如：动点P的坐标满足（m，m1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x1的图象即点P的轨迹就是直线y=x1（1）若m、n满足等式mnm=6，则（m，n1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是 ；（2）若点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=1的距离相等，求点P的轨迹；（3）若抛物线y=14x2上有两动点M、N满足MN=a（a为常数，且a4），设线段MN的中点为Q，求点Q到x轴的最短距离【答案】（1）y=6x；（2）y=14x2；（3）点Q到x轴的最短距离为1【解析】（1）设m=x，n1=y，
