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1、 专题专题 0909 三角形三角形 三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.1.四心的地位 所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四心，也就是要熟悉它
2、们的几何特征，正三角形四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.2.四心的概念与常用性质 内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等；垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的 2 倍；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式
3、，数形结合，以形助数，以数解形.初中课程要求 1、三角形及其性质 2、全等三角形 3、相似三角形 4、直角三角形 高中课程要求 1、三角变换与解三角形的综合问题 专题综述课程要求 2、解三角形与平面向量结合 3、以平面图形为背景的解三角形问题 高中必备知识点高中必备知识点 1：三角形的：三角形的“四心四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图 3.2-1，在三角形ABCV中，有三条边,AB BC CA，三个角,ABC行?，三个顶点,A B C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交
4、点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.高中必备知识点高中必备知识点 2：几种特殊的三角形：几种特殊的三角形 结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、
5、高线）合一.因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.知识精讲 典例剖析 高中高中必备知识必备知识点点 1：三角形：三角形的的“四心四心”【典型例题】如图，在O 中，AB 是的直径，PA 与O 相切于点 A，点 C 在O 上，且 PCPA，（1）求证 PC 是O 的切线；（2）过点 C 作 CDAB 于点 E，交O 于点 D，若 CDPA2，求图中阴影部分面积；连接 AC，若PAC 的内切圆圆心为 I，则线段 IE 的长为 【答案】（1）详见解析；
6、（2）S阴影433 7【解析】（1）证明：连接 OCOP，点 C 在O 上，OC 为半径 PA 与O 相切于点 A，OAPA PAO90 OCOA，OPOP，PCPA，PCOPAO PCOPAO90 PCOC PC 是O 的切线 （2）作 CMAP 于点 M，CDAB，CEDE3，CEA90 四边形 CMAE 是矩形 AM3 PMAM PCAC PCPA，PCA 是等边三角形 PAC60 CAB30 COE60 COD120 在 RtCOE 中，sin603OC，OC2 S阴影433 AP=23,AH=CE=3 CH=3AH=3 又I 为正PAC 的内心 CI=13 CH=2 IE=22CEC
7、I=34=7 【变式训练】已知菱形 ABCD 的边长为 2ADC=60，等边AEF 两边分别交边 DC、CB 于点 E、F。（1）特殊发现：如图，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点求证：菱形 ABCD 对角线 AC、BD 交点 O 即为等边AEF 的外心；（2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动记等边AEF 的外心为点 P 猜想验证：如图猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图，当AEF 面积最小时，过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M，交边 DC 的延长线于点 N，试判断1+1是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。【答案】（1）见
8、解析；（2）外心 P 一定落在直线 DB 上，见解析；1+1为定值，1+1=1.【解析】（1）证明：如图 I，分别连接 OE、0F 四边形 ABCD 是菱形 ACBD，BD 平分ADCAD=DC=BC，COD=COB=AOD=90 ADO=12ADC=1260=30，又E、F 分别为 DC、CB 中点 OE=12CD，OF=12BC，AO=12AD，0E=OF=OA，点 O 即为AEF 的外心，（2）猜想：外心 P 一定落在直线 DB 上，证明：如图 2，分别连接 PE、PA，过点 P 分别作 PICD 于 I，P JAD 于 J PIE=PJD=90，ADC=60 IPJ=360-PIE-P
9、JD-JDI=120 点 P 是等边AEF 的外心，EPA=120，PE=PA，IPJ=EPA，IPE=JPA PIEPJA，PI=PJ，点 P 在ADC 的平分线上，即点 P 落在直线 DB 上，1+1为定值 1.当 AEDC 时AEF 面积最小，此时点 E、F 分别为 DC、CB 中点 连接 BD、AC 交于点 P，由（1）可得点 P 即为AEF 的外心，解法：如图 3设 MN 交 BC 于点 G 设 DM=x，DN=y(x0yO)，则 CN=2 由 BCDA 易证GBPMDPBG=DM=x =2 ，BCDA，NCGNDM=，2=2 +=.1+1=1，即1+1=1.【能力提升】定义：到三角
10、形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图 1，PDAC，PEAB，垂足分别为点 D、E，若 PDPE，则点 P 为ABC 的准内心 （1）应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准内心 P 在高 CD 上，且 PD12AB，求APB 的度数（2）探究：如图 3，已知ABC 为直角三角形，斜边 BC5，AB3，准内心 P 在 AC 边上（不与点 A、C重合），求 PA 的长【答案】（1）APB90；（2）=32.【解析】（1）准内心 P 在高 CD 上，点 P 为CAD 的角平分线与 CD 的交点，ABC 是等边三角形，PADPAC30，CD 为等边三角形 ABC 的高，
11、AD3DP，ADBD，与已知 PD12AB 矛盾，点 P 不可能为CAD 的角平分线与 CD 的交点，同理可知点 P 不可能为CBD 的角平分线与 CD 的交点，CDAB，点 P 为BCA 的平分线，此时，点 P 到 AC 和 BC 的距离相等，PD12AB，PDADBD，APDBPD45，APB90；（2）BC5，AB3，AC2 24，准内心在 AC 边上，（不与点 A，B 重合），点 P 为CBA 的平分线与 AC 的交点，作 PDBC 与点 D，PAPD，BDBA3，设 PAx，则 x2+22（4x）2，x32，即 PA32 高中高中必备知识必备知识点点 2：几种：几种特殊的三角形特殊的
12、三角形 【典型例题】问题发现：如图 1，ABC 是等边三角形，点 D 是边 AD 上的一点，过点 D 作 DEBC 交 AC 于 E，则线段 BD与 CE 有何数量关系？拓展探究：如图 2，将ADE 绕点 A 逆时针旋转角 （0360），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明 问题解决：如果ABC 的边长等于 23，AD2，直接写出当ADE 旋转到 DE 与 AC 所在的直线垂直时 BD的长 【答案】问题发现：BDCE；拓展探究：结论仍然成立，见解析；问题解决：BD 的长为 2 和 27【解析】问题发现：如图 1,BD=CE,理由是 ABC 是等边三角形,AB=AC,DE
13、BC,BD=CE,拓展探究：结论仍然成立,如图 2,由图 1 得,ADE 是等边三角形,AD=AE,由旋转得BAD=CAE,BADCAE,(旋转的性质)BD=CE,问题解决：当ADE 旋转到 DE 与 AC 所在的直线垂直时,设垂足为点 F,此时有两种情况:如图 3,ADE 是等边三角形,AFDE,DAF=EAF=30,BAD=30,过 D 作 DGAB,垂足为 G,AD=2,DG=1,AG=3,AB=23,BG=AB-AG=3,BD=2（勾股定理）,如图 4,同理得BADCAE,BD=CE,ADE 是等边三角形,ADE=60,AD=AE,DEAC,DAF=EAF=30,EF=FD=12AD=
14、1,AF=3,CF=AC+CF=23+3=33,在 RtEFC 中,EC=22221(3 3)282 7EFFC,BD=EC=27.综上所述,BD 的长为 2 和 27.【变式训练】如图，两条射线 BA/CD，PB 和 PC 分别平分ABC 和DCB，AD 过点 P，分别交 AB，CD 与点 A，D （1）求BPC 的度数；（2）若,60,2ADBABCDBP，求 AB+CD 的值；（3）若ABPS为 a，CDPS为 b，BPCS为 c，求证：a+b=c【答案】（1）90；（2）4；（3）证明见解析【解析】（1）BACD，ABC+BCD=180 PB 和 PC 分别平分ABC 和DCB，PBC
15、12ABC，PCB12BCD，PBC+PCB12（ABC+BCD）=90，BPC=90；（2）若BCD=60，BP=2，ABC=18060=120，PCD12BCD=30，ABP12ABC=60 在 RtABP 中，BP=2，AB=1在 RtBCP 中，CP=23在 RtPCD 中，PD3=，CD=3，AB+CD=4（3）如图，作 PQBC ABP=QBP，BAP=BQP，BP=BP ABPBQP（AAS）同理PQCPCD（AAS），SBCP=SBPQ+SPQC=SABP+SPCD，a+b=c 【能力提升】如图，ABC、DCE、FEG 是三个全等的等腰三角形，底边 BC、CE、EG 在同一直线
16、上，且 AB=3，BC=1，连结 BF，分别交 AC、DC、DE 于点 P、Q、R (1)求证：BFGFEG (2)求 sinFBG 的值【答案】(1)证明见解析；(2)116【解析】解：(1)依题可得：BC=CE=EG=1，FG=AB=3，BG=3，在BFG 和FEG 中，FGBG3EGFG，G=G，BFGFEG.(2)过点 F 作 FHBG 于点 H，如图，则FHG=90，FEG 是等腰三角形，EG=1，11EHGHEG22，FH=2211FGGH2，BFGFEG，BFG=FEG=G，BF=BG=3BC=3，在 RtFBH 中，sinFBG=FH11112BF63.1如图，等边ABC的顶点(1,1)A，(3,1)B；规定把ABC“先沿x轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换，这样连续经过 2021 次变换后，等边ABC的顶点C的坐标为（）对点精练 A(2020,31)B(2017,31)C(2018,31)D(2019,31)【答案】D 过点C作CDAB交AB于点D 等边ABC 1122ADBDABAC (1,1)A，(3,1)B 2ACAB 112ADAB 223CDACAD
