《第五章 三角函数（公式、定理、结论图表）（新教材）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章 三角函数（公式、定理、结论图表）（新教材）（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章三角函数（公式、定理、结论图表）1角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的表示如图，(1)始边：射线的起始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角可记为“角”或“”或简记为“”3任意角的分类(1)按旋转方向分(2)按角的终边位置分前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合分类：4终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？提示：终边相同的角不一定相等，它们相
2、差360的整数倍；相等的角，终边相同5度量角的两种单位制(1)角度制：定义：用度作为单位来度量角的单位制1度的角：周角的.(2)弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角6弧度数的计算思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关7角度制与弧度制的换算8一些特殊角与弧度数的对应关系度030456090120135150180270360弧度029.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR.(2)扇形面积公式：SlRR2.10单位圆在
3、直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆11任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设是一个任意角，R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(2)结论y叫做的正弦函数，记作sin ，即sin y；x叫做的余弦函数，记作cos_，即cos x；叫做的正切，记作tan_，即tan (x0)(3)总结tan (x0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数12正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan 13.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符
4、号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”14诱导公式一15平方关系(1)公式：sin2cos21.(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.16商数关系(1)公式：tan_(k，kZ)(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切思考：对任意的角，sin22cos221是否成立？提示：成立平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关17.诱导公式二(1)角与角的终边关于原点对称如图所示(2)公式：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.18诱导公式三(1)角与角的终边关于x轴对称如图所示(2)公式：sin()sin_，cos()
5、cos_，tan()tan_.19诱导公式四(1)角与角的终边关于y轴对称如图所示(2)公式：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.思考：(1)诱导公式中角只能是锐角吗？(2)诱导公式一四改变函数的名称吗？提示：(1)诱导公式中角可以是任意角，要注意正切函数中要求k，kZ.(2)诱导公式一四都不改变函数名称20诱导公式五(1)角与角的终边关于直线yx对称，如图所示(2)公式：sincos_，cossin_.21诱导公式六(1)公式五与公式六中角的联系.(2)公式：sincos_，cossin_.思考：如何由公式四及公式五推导公式六？提示：sinsinsincos .cos
6、coscossin .22正弦曲线正弦函数ysin x，xR的图象叫正弦曲线23正弦函数图象的画法(1)几何法：利用单位圆画出ysin x，x0,2的图象；将图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)(2)五点法：画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0)，(，0)，(2，0)，用光滑的曲线连接；将所得图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)24余弦曲线余弦函数ycos x，xR的图象叫余弦曲线25余弦函数图象的画法(1)要得到ycos x的图象，只需把ysin x的图象向左平移个单位长度即可(2)用“五点法”画余弦曲线ycos x在0,2上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，(
7、，1)，(2，1)，再用光滑的曲线连接思考：ycos x(xR)的图象可由ysin x(xR)的图象平移得到的原因是什么？提示：因为cos xsin，所以ysin x(xR)的图象向左平移个单位可得ycos x(xR)的图象26函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期27正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最
8、小正周期22奇偶性奇函数偶函数28. 单调性与最值解析式ysin xycos x图象值域1,11,1单调性在2k，kZ上单调递增，在2k，kZ上单调递减在2k，2k，kZ上单调递增，在2k，2k，kZ上单调递减最值x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1思考：ysin x和ycos x在区间(m，n)(其中0mn2)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m，n.29.正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R周期奇偶性奇函数对称中心，kZ单调性在开区间，kZ内都是增函
9、数30.两角差的余弦公式公式cos()cos_cos_sin_sin_适用条件公式中的角，都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反31两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_，R两角和的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_，R32.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_，R两角差的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_，R33.重要结论辅助角公式yasin xbcos xsin(x)(a
10、，b不同时为0)，其中cos ，sin .34、两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan()，k(kZ) 且tan tan 1两角差的正切T()tan()，k(kZ)且tan tan 135二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2sin 22sin_cos_C2cos 2cos2sin2T2tan 236.余弦的二倍角公式的变形37正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos sin 2，cos .(2)1sin 2(sin_cos_)2.38.半角公式(1)sin ，(2)cos ，(3)tan ，(4)tan，tan.39对ysin(x)，xR的图象的影响40(0
11、)对ysin(x)的图象的影响41A(A0)对yAsin(x)的图象的影响42函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义43解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论一、角的有关概念的判断1理解角的概念的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可2象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限(2)第一步，将写成k360(kZ,0360)的形式；第二步，判断的终边所在的象限；第三步
12、，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”典例1：(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于180的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上)(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角420.855.510.(1)锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以正确；350角是第一象限角，但它是负角，所以错误；0角是小于180的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误；360角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误(2)解作出各角的终边，如图所示：由图可知：420是第一象限角855是第二象限角510是第三象限角二、终边相同的角的表示及应用1在0到360范围内找与给定角
