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1、十年高考真题分类汇编（20102019）数学专题04导数与定积分1.(2019全国2T文T10)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为()A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0C.2x+y-2+1=0D.x+y-+1=0【答案】C【解析】当x=时,y=2sin +cos =-1,即点(,-1)在曲线y=2sin x+cos x上.y=2cos x-sin x,y|x=2cos -sin =-2.曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-),即2x+y-2+1=0.故选C.2.(2019全国3T理T6文T7)已知曲线y=aex
2、+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1【答案】D【解析】y=aex+ln x+1,k=y|x=1=ae+1=2,ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.3.(2018全国1理T5文T6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2x B.y=-xC.y=2xD.y=x【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=
3、-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得曲线y=f(x)在(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.4.(2017全国2理T11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3 C.5e-3 D.1【答案】A【解析】由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-
4、1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值选A.5.(2017浙江T7)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 () 【答案】D【解析】设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)上,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.6.(2016山东理T10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂
5、直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=ex D.y=x3【答案】A【解析】当y=sin x时,y=cos x,因为cos 0cos =-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.7.(2016全国1文T12)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-,+)单调递增,则a的取值范围是()A.-1,1B.C.D.【答案】C【解析】因为f(x)在R上单调递增,所以f(x)=-cos2x+acos x+0在R上恒成立.由题意可
6、得,当cos x=1时,f(x)0,当cos x=-1时,f(x)0,即解得-a.8.(2016四川理T9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1) B.(0,2)C.(0,+) D.(1,+)【答案】A【解析】设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x11,0x21,SPAB=|yA-yB|xP|=1.0SPAB0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0
7、)D.(0,1)(1,+)【答案】A【解析】当x0时,令F(x)=,则F(x)=0时,F(x)=为减函数.f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)0;在(1,+)上,F(x)0,即当0x0;当x1时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).故选A.10.(2015全国1理T12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知函数关系式,先找到满足f(x0)0的整数x0,由x0的唯一性列不等式组求解.
8、f(0)=-1+a0,x0=0.又x0=0是唯一的使f(x0)0,则a的取值范围是()A.(2,+)B.(1,+)C.(-,-2)D.(-,-1)【答案】C【解析】当a=0时,显然f(x)有2个零点,不符合题意;当a0时,f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),易知函数f(x)在(-,0)上单调递增.又f(0)=1,当x-时,f(x)=x2(ax-3)+1-,故不适合题意;当a0就满足题意.由f0,得+10,解得a2(舍去).故a-2.即解得a.又a1,a1,经检验a=,符合题意,故选D.12.(2014江西,理8)若f(x)=x2+2f(x)dx,则f(x)dx=()A.-1B.-C.D
9、.1【答案】B【解析】f(x)dx=x2dx+dx=x3=+2f(x)dx,f(x)dx=-.故选B.13.(2014全国2理T8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】y=ax-ln(x+1),y=a-.y|x=0=a-1=2,得a=3.14.(2014全国2文T11)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)【答案】D【解析】由f(x)=k-,又f(x)在(1,+)上单调递增,则f(x)0在x(1,+)上恒成立,即k在x(1
10、,+)上恒成立.又当x(1,+)时,01,故k1.故选D.15.(2014全国2理T12)设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+f(x0)2m2,则m的取值范围是()A.(-,-6)(6,+)B.(-,-4)(4,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-,-1)(1,+)【答案】C【解析】x0是f(x)的极值点,f(x0)=0,即cos=0,得x0=k+,kZ,即x0=mk+m,kZ.+f(x0)2m2可转化为m2,kZ,即m2+3m2,kZ,即1-,kZ.要使原问题成立,只需存在kZ,使1-成立即可.又的最小值为,1-,解得m2.故选C.16.(2014湖北理T6)若函数f(
11、x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数:f(x)=sin x,g(x)=cos x;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于,dx=sin xdx=sin xdx=(-cos x)-cos 1-cos(-1)=(-cos 1+cos 1)=0.故为一组正交函数;对于,(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx=-1-2=-0,故不是一组正交函数;对于,xx2dx=x3dx=0.故为一组正交函数,故选C.17.(
12、2014山东,理6)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2B.4C.2D.4【答案】D【解析】由解得x=-2或x=0或x=2,所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=(4x-x3)dx=-0=4.18.(2013北京,理7)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A.B.2C.D.【答案】C【解析】由题意可知,l的方程为y=1.如图,B点坐标为(2,1),所求面积S=4-2dx=4-2,故选C.19.(2013全国2理T10文T11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()A.x0R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f(x0)=0【答案】C【解析】x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图象大致如下图所示,则在(-,x0)上不单调,故C不正确.20.(2013湖北,理7)一辆汽车在高速公路上行
