《(新高考)高考数学二轮复习难点突破练习专题07 圆锥曲线中的向量共线问题(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(新高考)高考数学二轮复习难点突破练习专题07 圆锥曲线中的向量共线问题(解析版)（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题07 圆锥曲线中的向量共线问题一、单选题1已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上.若，则点M到y轴的距离为（ ）ABCD1【答案】D【分析】由可得，设，由，可得.【详解】由可得，设，由，可得，所以且，所以，解得，所以，所以点M到y轴的距离为1.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.2抛物线的焦点为，准线为，点在上，线段与抛物线交于点，若，点到轴的距离为2，则的值是（ ）AB4CD2【答案】C【分析】画出图形，通过向量关系，转化为：，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可【详解】解：抛物线的焦点为，准线为，点在上，
2、线段与抛物线交于点，若，过作于，则，所以，设准线与轴交于，则，因为点到轴的距离为2，所以，解得，故选：C【点睛】本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题3已知双曲线的标准方程为，过其右焦点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则AB的垂直平分线与x轴交点的横坐标是（ ）A20B10C12D18【答案】A【分析】解法一：先根据双曲线的方程得到焦点F的坐标,设出直线AB的方程,并将其与双曲线方程联立,再结合及根与系数的关系,求出AB的中点坐标,进而可得AB的垂直平分线的方程,最后求其与x轴交点的横坐标即可；解法二
3、：设出A,B两点的坐标,结合,利用向量的坐标表示求出两点坐标之间的关系进行求解.【详解】解法：由,得双曲线的右焦点,故由题意可设直线AB的方程为.联立方程,得,消去x得.设,.由及根与系数的关系,得,得,或,由对称性不妨设,则AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.故选：A.解法二：由,得双曲线的右焦点.不妨设点A在第一象限内,设,因为,所以,得.又点A,B在双曲线上,所以,得,则,所以AB的中点坐标为,直线AB的斜率,所以AB的垂直平分线的方程为,令,得.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示. 试题综合考查直线与双曲线的位置关系
4、,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.4已知抛物线，焦点为，圆，过的直线与交于、两点（点在第一象限），且，直线与圆相切，则（ ）ABCD【答案】B【分析】设点、，可得，且，由结合向量的坐标运算以及可求得点的坐标，进而可求得直线的方程，由直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数的值.【详解】抛物线的焦点为，设点、，则，且，由得，由，即，即，可得，所以，点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程为，即，将圆的方程写为标准式得，则，可得.由于直线与圆相切，则，解得，合乎题意.故选：B.【点睛】本题考查利用直线与
5、圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.5已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）ABCD【答案】B【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.【详解】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，如图所示：因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，由双曲线的第二定义得：，又，故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6已知点与抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两
6、点，与y轴交于点，若，且直线QA的斜率为1，则（ ）A2B4CD【答案】C【分析】判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可.【详解】解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，设，由，所以，得，又，所以，又A、F、B三点共线，可得，即，可得，由QA斜率为1可得：，即，则.故选：C.【点睛】在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数；基础题.二、解答题7在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，上顶点为B，离心率为e椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且x轴（1）如图1，若OCAB，求e的值；（2）如
7、图2，连结并延长交椭圆于另一点D若，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据轴，设C，再根据点C在椭圆上求得其坐标，然后再根据 OCAB ，由求解.（2）设，由（1），然后用表示D的坐标，代入椭圆方程求解.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c 轴 可设C，因为，所以，解得， C OCAB ，所以 b=c .（2）设，由（1）知：， ，所以，又D在椭圆上，化简得：又， ， ，则， 解得： 所以取值范围是【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率的常用方法：直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为
8、关于离心率e的一元二次方程求解；通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系8已知椭圆经过点，离心率为.（1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于两点，点为中点，与曲线的另一个交点为，设，试求出的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆的离心率及经过的点列方程即可得解；（2）设，由韦达定理得、，再由平面向量的数乘运算可得，代入椭圆方程运算即可得解.【详解】（1）由题意得，解得，的方程为；（2）设，将代入得，所以，所以，由点为中点得，由得，所以，因为在椭圆上，所以，所以，即，又
9、因为，所以，化简得，解得（负值舍去）.【点睛】解决本题的关键是设出点的坐标，利用韦达定理及向量的数乘对条件合理转化，细心计算即可得解.9已知椭圆：的两个焦点为，焦距为，直线：与椭圆相交于，两点，为弦的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于不同的两点，若（为坐标原点），求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）为弦的中点, 设，,代入椭圆方程利用点差法可求解.（2）由，三点共线，根据三点共线性质可得：，则，将直线的方程和椭圆方程联立，利用韦达定理即可求得答案.【详解】（1）焦距为，则，设，为弦的中点，根据中点坐标公式可得：，又将，代入椭圆：将两式作差可得：，所以，所
10、以.由得：所以椭圆的标准方程为.（2），三点共线，根据三点共线性质可得：，则设，则，.将直线和椭圆联立方程消掉.可得：.，根据韦达定理：，代入，可得：，即.，代入式得，即，满足式，或.【点睛】本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题.10如图，已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.（1）若，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据得到，可得；（2）设，根据得到，代入，解得，可得，从而可得椭圆方程.【详解】（1）若，则和为等腰直角三角形所以有，即所以，（2）
11、由题知，设，由，得，所以 ，代入，得即，解得所以，所以椭圆方程为【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题.11已知椭圆：（），为坐标原点，长轴长为4，离心率（1）求椭圆的方程；（2）设直线的方程为：，点为椭圆在轴正半轴上的顶点，过点作，垂足为，点在椭圆上（不同于点）且满足：，求直线的斜率【答案】（1）；（2）【分析】（1）由长轴长为4求a，再由离心率求c，根据椭圆的性质求b，从而得到椭圆方程（2）椭圆的右顶点为直线，直线的方程为，分别与椭圆方程联立，求出的纵坐标，利用向量关系，转化求解直线的斜率即可【详解】（1）由椭圆的离心率，长轴长为4可知
12、，椭圆的方程为（2）椭圆的右顶点为由题可知，直线：，直线的方程为，由，可知，由，得，则，则，解之，【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于综合题.12已知椭圆：的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和.（1）求的标准方程；（2）已知动直线与抛物线：相切（切点异于原点），且与椭圆相交于，两点，问：椭圆上是否存在点，使得，若存在求出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，点坐标为或【分析】（1）（1）设直线方程为，分别与椭圆方程，圆联立解得交点
13、坐标，再根据弦长分别为2和.求解.（2）设：，与抛物线方程联立，根据与相切，则，与椭圆方程联立，由结合韦达定理得到Q坐标代入椭圆方程求解.【详解】（1）设直线方程为，与椭圆方程联立解得，所以， 直线方程为，与圆联立解得，所以，解得，故：.（2）由题知存在且斜率不为0，设：，联立，得，因为与相切，故，联立，得，所以，又，所以.因为，所以，由韦达定理，代入计算得，因为点在椭圆上，即，代入得，即，解得或（舍），所以，此时点坐标为或.【点睛】本题主要考查直线与椭圆，直线与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于,两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依题意得到方程组，解得即可；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由，可得，从而求出参数的值，【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为.由题意可得解得，.故椭圆的标准方程为.（2）由（1）可得当直线的斜率为0时，或，此时，不符合题意.当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为，.联立，整理得，则，因为，所以.从而，则，解得.故直线的方程为.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.14已知过点的直线与抛物线相交于A，B两点.
