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1、绪 论以牛顿经典力学为代表的近代科学，确立了现实世界简单性的信念，这个传 统一直延续到20世纪初，20世纪60年代以来，简单性观念和方法受到冲击， 所谓简单系统和简单过程其实并不简单。现代科学所面临的是简单性思想和方法 无法处理的复杂对象。一系列以复杂系统为研究对象的新科学相继产生，现实世 界简单性的传统信念需要转变，复杂性是世界应当以复杂性观念来对待。非线性科学就是研究复杂性现象的新科学。经典科学研究的对象只要是线性 的、可解析表达的、平衡态的、规则的、有序的、确定的、可逆的、可用逻辑分 析的对象，而非线性科学研究的对象主要是非线性的、非解析表达的、非平衡态 的、不规则的、无序的、不确定的、
2、不可逆的、不可用逻辑分析的系统。自然界 中存在着大量的、复杂的非线性现象，如涌动的气流、飞溅的水花、漂浮的烟雾、 起伏的土地、曲折的海岸、分叉的树枝等。在物理学中，非线性主要表现为相干 性和偶合作用。天体力学一开始就碰到非线性问题，其复杂性原远超出人们的想 象。在生命科学和社会生活领域，也存在着复杂的非线性现象，如生物胚胎的发 育、脑神经的活动、心脏的搏动、买卖关系的变化、商品供求的波动、股票价格 的涨落等，都随着时间的变化而瞬息万变。因此，非线性问题已经成为自然科学、 工程技术、哲学及社会科学的一个热点。实际上，非线性问题并不是一个近期才出现的新问题，也不是一个新的科学 概念。但是，由于在确
3、定性的系统中发现了混沌现象，极大地激发了人们去探索 自然界和社会中存在的各种复杂性问题，同时逐渐改变了人们观察周围世界的思 维方法。近40年来，从自然科学、工程技术、甚至社会科学各领域中，人们广 泛深入地开展了非线性问题的研究，并且取得了重大进展。在力学、物理学、数 学、化学、地学、生物学等领域发挥了巨大的作用，也渗透到社会科学如经济学、 人口学、国际关系学等领域。已经取得的成果显示：非线性研究在深刻地诠释丰 富多彩的自然界、复杂多变的周围世界方面，以及在哲学与方法论方面，引起了 深刻的变革。20世纪40年代，以一般系统论、信息论、控制论、为代表的“老三论”应 运而生；60年代，以耗散结构、协
4、同学、突变沦为主线的“新三论”先后诞生, 于超循环理论、广义综合进化论一起，共同组成了自组织理论；70年代以来， 以混沌理论、分形几何学和独立子理论为主体的非线性科学的问世，标志着科学 的发展进入了一个新的时代。尤其是确定性系统中混沌现象的频频发现，引发了 人们对复杂性问题的研究，使人们逐渐认识到非线性因素是这种复杂性问题的集 中表现。通过简单的一维非线性映射，发现倍周期分叉现象的普适常数和时间演 化中趋向混沌并且出现奇异吸引子等非线性问题的共同特点。由此启发人们突破 不同学科的局限性，研究不同学科存在的非线性问题的共性，从而形成了综合性、 交叉性相结合的前沿科学非线性科学。正如非线性不满足整
5、体是部分之和一样，非线性科学也不是非线性数学、非 线性物理、非线性力学等分支学科的总和。人们已经发现，在自然科学的各个不 同的领域中，各种非线性系统有着共同的规律，使非线性研究从范例的研究走向 一个以探索复杂性为目标的新科学一一非线性科学。以混沌为核心的非线性科学将会持久地影响自然学科的进程，成为继量子力 学、相对论之后的一次新的科学革命。非线性科学不仅具有重大的科学意义，而 且对人类社会、生态环境、医学诊断、经济发展规律、信息与决策等等都具有不 可估量的影响。不考虑非线性因素，不建立非线性模型，就无法真实而准确的反 映客观规律；自相似决不是分形数学游戏。可以肯定地说，人类社会不同阶层具 有自
6、相似结构，仅此而言，非线性问题的研究就对社会的进步与发展有积极的推 动作用。由混沌现象引发的对复杂性的探索，对整个自然科学和哲学体系带来的冲 击，可能成为产生变革的持久的动力。哈肯认为，一座大山将各门学科分隔开， 尤其是“软”科学与“硬”科学，他正在用“协同学”挖出一条隧道连通各门学 科；普里高津希望用炳来追踪时间的起源，站在宇宙的起点来观察其后的演化； 托姆企图用势函数来描绘自然界千变万化的不连续的突变现象，把它们归并到最 基本的突变类型之中，凡此种种，上升到哲学高度，那就是：自然界的本 质到底是什么？只有非线性科学才有可能回答这个问题。从20世纪进入21世纪，科学正在发生根本性的变化，世界
7、正在发生根本性 的变化。抓住机遇，与时俱进，人们学习非线性科学，研究非线性科学，发展非 线性科学，推动自然科学、社会科学及哲学科学的大发展，推动生产力的大发展, 用非线性思想迎接新世纪的种种挑战!第一章非线性科学研究动态1.1非线性科学研究的主要内容当代科学发展的重要特征之一是，在几乎所有的俄领域中都发现了非线性现 象。非线性科学正在成为跨学科的研究前沿，它主要研究各门学科中有关非线性 的共性问题，特别是那些无法从线性模型稍加修正就可以解决的问题，以及它自 身理论发展所需要的概念和方法。换言之，非线性科学现象的共性，发展处理他 们的普适方法。非线性问题的研究是极其困难的。过去采用在运转点附近线
8、性化的方法，或 者针对具体的非线性防城来寻求个别的解析处理方法。但是，直到目前，对于非 线性问题仍然没有系统的处理方法，更多的时机终于典型范例的研究和作某些定 量分析。近期非线性科学研究的主要内容有以下几个方面：非线性映射的宏观特性、 混沌与分形、动力学系统的时间反演问题、自组织与耗散结构、复杂性探索等。 一般认为，混沌、分形和独立子是非线性科学的主题，而且他们三者是彼此联系 的。当一个系统或事物里又可调的恒定参量时，参量的不同会引起系统长期动态 发生根本性的变化，这是分叉定理所关心的问题；当参量的变化跨越某些临界点 时，系统将发生根本性的转变。例如，孤立波的失稳、分形结构的改变、混沌过 程变
9、成周期振荡等等。如果在一个系统或事物的岩画中，从时间过程看由混沌， 而在空间分布上又有变化着的分形徒刑，就应把时空联系起来研究图形的动力 学。1.1.1非线性映射的宏观特性在混沌现象的研究中起着重要作用的失一位非线性映射方程xn+1 = /(fl,x)其非线性迭代行为随控制参数之值的变化而变化，以2方十分叉的倍周期序列和 Feigenbaum普适常数5,使整个一类非线性映像都无例外遵从的，它与系统具 体结构的细节无关，迭代过程所呈现的特征是相同的，这以为从对流液体到非线 性振荡电路的实验严格地证明了 5的普适性。在越过a()之后，羽的值呈现出不规则的图像，即混沌现象，通过改变a的 比例尺度，可
10、以使动力系统进入混沌区之后的细部层次构造显现出来。其实。在 这些混沌区内，仍然表现出某种规律，在控制参数a的0()区间内，有2个 倍周期分叉区；在O2区间内，也有2n个混沌带，它们从左右两方面收敛 于a。x的迭代值以2n的顺序落入这些窄带区内，在每个带内x的分布则是随机 的。这就是所谓的无穷嵌套的自相似结构。这类迭休过程表达了离散时间的演化过程。由于存在非线性，使这类一维映 像都不能单值地确定它的逆映像()，非线性将导致系统的耗散结构。所以，可 以把一维非线性映射的迭代过程看作是单变量耗散系统的不可逆演化过程。1. 1. 2混沌与分形在确定性系统中可出现不规则的、非周期的、错综复杂的、具有自相
11、似结构 的非线性现象。与迭代过程相比，人们更关心的是由非线性微分方程描述的动态 过程的演化特性。1961年，洛伦兹(Lorenz)根据大气运动的实际情况，设定了具体参数， 通过计算机对描述大气环流运动的简化模型进行数值积分。变量随时间演化的数 字计算结果表明，初始条件只有千分之一误差的二组计算结果却造成了其后完全 不同的演化过程。初始条件代表在起始时刻对系统所作的测量，测量越精确，观 测者所获得的关于该系统的知识就越多。如果初始条件的微小变化引起的运动轨 迹的改变也是微小的，那么初始条件所包含的信息将保留下来，因而可以对系统 的动态过程作出预测，这时我们可以说系统对初始条件是不敏感的。相反，洛
12、伦 兹模型中初始条件的微小变化造成了轨线的巨大变化，初始条件包含的信息由于 指数型发散而丧失，这时便不能预测系统长时间演化的行为，我们可以说系统是 敏感初始条件的。失之毫厘，差之千里。洛伦兹由此得出结论:“任何具有非周期行为的物理系统，将是不可预报的。” 突破确定论长期禁锢的新的科学概念就这样诞生了。在洛伦兹模型中不稳定的解将使轨线族之间任意相邻二条轨迹以指数方式 发散；但是，流体的动力学黏性将使系统在演化过程中耗散能量，运动轨迹将向 吸引子收缩。要同时满足这二者，只有通过伸缩与折叠变换，才能使指数型发散 的轨迹族维持在有限范围的吸引子上。伸缩变换使诸轨线族维持在有限范围的吸 引子上。伸缩变换
13、便诸轨线在相空间中密集和遍历，折叠变换则使吸引子具有层 次结构。同时，伸缩变换使初始条件的微小变化增大，折叠又使相距很远的轨迹 汇合，丧失了初始条件所包含的关于系统的信息。因此，伸缩与折叠变换是一种 混沌操作，这样形成的吸引子称作混沌吸引子或者称作奇异吸引子，它高度敏感 初始条件。因此，具有奇异吸引子的系统的长期演化行为是不可预测的。人们惊叹洛伦兹奇异吸引子的和谐与形式美，犹如蝴蝶的翅膀。谁又能预言, 一只蝴蝶在巴西扇动翅膀不会在得克萨斯引起龙卷风呢？图1-1是蝴蝶效应的 形象化示意图。图1T蝴蝶效应不意图当我们观察映射和奇异吸引子的复杂图形时，已经隐隐约约地感觉到，这些 曾经是陌生的图形是不
14、能用我们熟悉的欧几里得几何学方法来描述的。在平直的 欧氏空间中，点、线、面、体和它们构成规则的几何图形都有整数维和测量其大 小或几何性质的特征尺度。测量的对象不同，采用的尺度单位也不同。既不便用 丈杆量地球，又不宜用米尺测量原子，前者失之太短，后者得之过大，所谓“夫 尺有所短，寸有所长”就是这个意思。然而，具有无穷嵌套的自相似结构的映射图形和奇怪吸引子的复杂形态，无 论怎样变换尺度，局部仍然保持了整体的性质，观测的特征尺度的作用失效了。 这种在尺度变换之下，图形的自相似性保持不变，即图形的复杂结构不变的特点 就是无标度性。如何刻画这一类几何图形呢？曼德尔布罗特(B. B. Mandelbrot
15、)提出了分数 维的概念，建立了分形几何学，从而完成了一个科学概念的转变。他把人们的思 维从欧几里得几何学框架的长期禁锢中解脱出来，又重新回到创造出无数绚丽多 彩的分形结构的大自然之中。雷鸣闪电的形状。婉蜒曲折的海岸线，令人神往的 云梯，波澜起伏的沙丘，树叶枝干的外形结构，美丽的雪花冰晶都是分形的 实例。不能用整数维刻画的形状，无论怎样放大来看，它都和原来同样复杂(在统 计的意义上)。用分数维度就意味着完全正确否定了分形的平滑程度。分形是处 处不可微分的。漂浮在液体中的花粉形成的布朗运动是处处连续而又处处不可微 分的。因为，在尺度变换下每一个层次上的细节放大后都是布朗运动，它具有统 计意义上的自
16、相似性。相反，特征长度意味着物体形状具有平滑程度，它平滑了 小于特征长度的细节，但保留了整体的特征。我们熟悉的是经验维数，或者说拓扑维数，用d表示。这种维数的特点是， 若用n维的测量单元I11去测量某个d维几何形状时，只有n=d时测量结果才是有 限值；若nd,测量值为8；若nd,则为0,这样测得的是整数维。实际上，早在1919年，由豪斯道夫(F. Hausdorff)定义的维数变允许出现 分数维数。其他几种定义，如信息维、关联维等等，虽然在数学上是很严密的， 可是实际应用却各有局限与不足之处。比较简便的方法是：以半径为r的df维球 去包覆分形体，当rrO时确定包覆所需球的最小个数N (r),再由公式d” = limN(r)/ln(l/r)(1-1)J r-o计算分维数。有了分数维，就可以刻画自相似结构和奇异吸引子的几何特征，对它们的复 杂程度给出定量的描述。但分数维并不容易计算。就奇异吸引子的分类和系统的 时空
