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1、2023届高三“一起考”大联考（模拟三）数学试卷（时量：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别求两个集合，再求集合的混合运算.【详解】由集合，则.故选：B.2. 已知复数的实部和虚部均为整数，且，则满足的复数的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】先将问题转化为满足的整数解，从而利用分论讨论求得满足的的个数（方法一），或利用数形结合讨论圆面内的整数点（方法二），从而得解.【详解】设，则
2、，所以.方法一：因为，所以，即.当时，即，有两组满足条件或，当时，或，所以或或，但时，不符合题意，综上：满足要求的的个数为4个，方法二：如图，可转化为研究圆面内（包括边界）的整点个数.圆面包括的整点分别为，而不满足，则符合题意的整点共有4个.故选：C.3. 成对样本数据和的一元线性回归模型是，则下列四幅残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断.【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值.对于A选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大
3、而变大，故A错；对于C选项，残差与观测时间有线性关系，故C错；对于D选项，残差与观测时间有非线性关系，故D错；对于B选项，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内.故B正确.故选：B.4. 正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】以，为坐标轴建立平面直角坐标系，由转化为坐标的运算可得答案.【详解】以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图： 设正方形边长为1，则，因为，所以解得，所以故选：B5. 已知，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件得到，再利用同角三角函数关
4、系求解即可.【详解】，整理得：，解得或.因为，所以，.故选：C6. 记为数列的前n项积，已知，则（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【解析】【分析】当时，有，当时，有，结合题目条件，即可求得本题答案.【详解】1.当时，；2.当时，有，代入，得，化简得：，则，.故选：D7. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对数函数的单调性可比较a、b，再根据基本不等式及换底公式比较b与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数
5、的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.8. 雨天将一个上端开口的杯子固定在地面上放置24小时以测量日降雨量.杯子可以看作是容积为500毫升、高为20厘米、上底面（开口端）面积为30平方厘米的圆台，已知放置一天后杯内水位线距离杯底的高度约为2厘米.日降雨量的定义是单日降水在地面上积累高度的毫米数，则该地区当天日降雨量的估计值为（ ）（表示毫米）A. 13.3B. 16.8C. 20.2D. 23.6【答案】A【解析】【分析】设水杯下底面面积为，利用圆台体积公式计算出，然后根据题意求出当天日降雨量估计值即可.【详解】设水杯下底面面积为
6、，则由圆台体积公式有500，从而，即解得：或，不符合式舍去，因为积水深度只有2厘米，远低于水杯的高度，水杯上下底面半径的差距又非常小，故积水体积可以近似为圆柱体的体积即毫升，这些水是水杯敞口（地表30平方厘米区域）一天内接到水的量，根据日降雨量的定义，有当天日降雨量估计值为，故选：.二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】AC【解析】【分析】根据空间中直线、平
7、面的位置关系逐项判断即可.【详解】若，则由直线与平面垂直的性质可得，故A正确.若，则，故与有交点，错误，故B错误.若，则垂直平面内的两条相交直线与，又，则，则，故C正确.若，则或与异面，故D错误.故选：AC.10. 设正实数满足，则下列说法正确的是A. 的最小值为B. 的最大值为C. 的最小值为2D. 的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.【详解】选项，正实数满足，当且仅当时，等号成立，故正确；选项，由且得，当且仅当时，等号成立，则，故正确；选项，由且得，则，故错误；选项，故正确.故选：.【点睛】本题注意考查基本不等式的性质、“乘
8、1法”.11. 实数，函数的零点恰为的极值点，则构成的曲线（ ）A. 包含离心率为的椭圆B. 包含离心率为的双曲线C. 与直线有四个交点D. 与圆有六个交点【答案】ACD【解析】【分析】依题意可得或，从而得到曲线方程，再一一分析即可.【详解】根据题意或，若为，则点在平面内体现为，即，则，表示离心率为的椭圆，若为，则点体现为，即，则，表示离心率为双曲线，故A正确，B错误.直线的斜率为1，双曲线的渐近线为，斜率为，故直线和双曲线有两个交点，显然它与椭圆有两个交点，故C正确.而圆与椭圆交点为椭圆的左右顶点，圆的半径大于双曲线实轴长度的一半，故圆和双曲线有四个交点，故D正确，故选：ACD.12. 已知
9、函数，则下列说法正确的是（ ）A. 在上是增函数B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为C. 若有两个零点，则D. 若，且，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.【详解】对于A，当时，令，则，
10、当时，恒成立，在上单调递增；在上单调递增，根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；对于B，当时，又为正实数，当时，恒成立，在上单调递增，则由得：，即，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，则正实数的最小值为，B正确；对于C，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，则；不妨设，则必有，若，则，等价于，又，则等价于；令，则，即，在上单调递增，即，可知不成立，C错误；对于D，由，得：，即，由C知：在上单调递减，在上单调递增；，则，即，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，即的最大值为，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移
11、问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：求导确定的单调性，得到的范围；构造函数，求导后可得恒正或恒负；得到与的大小关系后，将置换为；根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中的常数项为_（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】方法一，原式化简为，再利用通项公式求常数项；方法二，化简原式为，转化为求的展开式中含项的系数，即可求常数项；方法三，原式化为，利用二次二项展开式，求常数项.【详解】方法一 不妨设，则可化为，其展开式的通项为，令，得，故所求常数项为.方法二 原式=，所以求的展开式中
12、的常数项，可转化为求的展开式中含项的系数，即.故所求的常数项为.方法三 的展开式的第项为，的展开式的第项为.令，则，可得，或，或，.当，时，；当，时，；当，时，.综上，的展开式中的常数项为.故答案为：14. 已知函数，则_.【答案】4【解析】【分析】先研究函数的性质，然后利用对称性求解.【详解】解：令函数的定义域为，所以函数为奇函数，故.故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，研究函数问题常见的方法是从函数的性质、图象等角度研究.15. 已知数列是等差数列，过点作直线的垂线，垂足为点，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由等差数列性质知直线过定点，根据题意确定在以为直径的圆上运动，并
13、写出圆的方程，由点到圆心距离求的最大值.【详解】因为数列是等差数列，所以直线过定点.点在以为直径圆上运动，的中点为， 该圆的方程为，所以的最大值为.故答案为：16. 已知数列满足，对任意正实数，总存在和相邻的两项，使得成立，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】化简递推关系，证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求，化简方程可得，结合连接列不等式求的取值范围.【详解】由，得，即，即，即，所以，即，所以是首项为，公差为的等差数列，所以.由，得，所以，即，又因为，所以使得包含于的取值范围.当时，不满足题意；当时，不满足题意；当时，不满足题意；当时，所以，即；当时，的取值均大于，所以，即.故答
14、案为：.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）法一：利用等比数列的通项公式和前项和公式得到关于基本量的方程组，解之即可求得；法二：利用等比数列的性质和前项和公式依次转化得到关于的方程组，解之即可求得；（2）分类讨论的通项公式，注意当为偶数时，为奇数，从而利用分组求和法可求得.【小问1详解】法一：因为是公比的等比数列，所以由，得，即，两式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因为是公比的等比数列，所以由得，即，则，解得或（舍去），故，则，所以.【小问2详解】当为奇数时，当为偶数时，所以.18. 如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，且.（1）求k的取值范围；（2）若，求k为何值时，BC
