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1、教师资格证中学数学考点（四）1、集合与函数BBA或A1.1集合AB（读作A包含于B）是指A是B的子集，意义是集合A中任意一个元素都是B中的元素，图形如右:AB1.2集合AB（读作A真包含于B）是指A是B的真子集，意义是集合A中任意一个元素都是B中的元素，但存在元素xB,且xA，图形如右：1.3集合AB（读作A并B）是指所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合；1.4集合AB（读作A交B）是指所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合；1.5通常我们把一个集合中所有元素组成的集合称为一个全集，记作U；1.6对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作
2、UA。【例题】设集合A=1,2,3,4,5,6，B=4,5,6,7,8，则满足SA且SB的集合个数是（ ）A.57 B.56 C.49 D.8答案：B解析一：S只有一个元素时，满足条件的集合S有3个，即包含的元素分别是4、5、6；当S有两个元素时，这样的集合S必须包括4/5/6中至少一个才能满足条件，共有集合个数为C31C31+C32=12；当S有三个元素时，同样必须从4/5/6中至少选一个，故此时能组合的集合个数有C31C32+C32C31+C33=19；当S有四个元素时，同样必须从4/5/6中至少选一个，此时集合个数为C31C33+C32C32+C33C31=15；当S有五个元素时，同前所
3、述，此时集合个数为C32C33+C33C32=6；同理，当S有六个元素时，此时集合个数为C33=1。综上所述，S满足条件的集合总数为3+12+19+15+6+1=56解析二：由条件知，S包含于A，且与B交集不为空，而AB=4,5,6，故得出S中的元素必都在A中，且至少包含4、5、6三个元素之一，那么已知A中含有6个元素，4/5/6可组成集合的个数（至少有一个元素）为：C31+C32+C33=7，集合A中另外三个元素可组成集合的个数（可以不选元素）为：C30+C31+C32+C33=8，以上两步相互独立，故S集合总共有78=56个。2、圆与直线在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所
4、形成的封闭曲线叫做圆(Circle)，全称圆形。标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。特别地，以原点为圆心，半径为r（r0）的圆的标准方程为x2+y2=r2。【例题】已知集合A=（x,y）|x2+y2=1，B=（x,y）|kx-y-20，其中x,yR。若AB，则实数k的取值范围是（ ）答案：-3，3yy=kx-2(k0)-111解析：数形结合的思路来解题，集合A即为圆x2+y2=1上的点，而集合B为直线以及其上部分平面上的点，如图，x纯手工绘制，注意保护劳动成果！元歌出品必属精品！-2由题意知，AB时，集合B的斜率k必
5、须小于等于与圆右边相切时的斜率，且最小为左边相切的情形（k0时的直线），即斜率取值在上图阴影范围，所以可先求出与圆相切的直线斜率即可：x2+y2=1kx-y-2=0 （1+k2）x2-4kx+3=0由图上可知，直线与圆相切，上式有一个根，判别式=16k2-12(1+k2)=0，即k=3，故斜率k值范围是-3，3。注意：函数y=b（b为常数）的斜率k=0。【例题】已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b为常数，且a0）满足条件：f(x-1)=f(3-x)，且方程f(x)=2x有等根。（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n(m1时，为单调递减函数，x越大y越小；x1时，f(x)为增
6、函数，x越小y越小。如存在题中所述m,n，则值域最大值4n1（函数f(x)最大值），也即n14，此时满足题中所述定义域最大值n14，函数f(x)在定义域m,n上为单调递增函数，故满足题意的m,n有方程fm=4mfn=4n 成立，于是得m=0或m=-2n=0或n=-2而mn是题目要求，故只能取m=-2n=03、函数3.1函数的单调性：设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。3.2函数的奇
7、偶性：设f（x）为一个实变量实值函数，若有f（-x）= - f（x），则f（x）为奇函数。奇函数特性：过零点，即f（0）=0设f（x）为一实变量实值函数，若有f（-x）= f（x） ，则f（x）为偶函数。3.3反函数：一般来说，设函数y=f(x)(xA)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f-1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f
8、(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标1指的是函数幂，但不是指数幂。函数与它的反函数的图像关于直线y=x对称。【例题】已知f(x)=ax+3x-1（1）求f(x)的反函数的值域；（2）若f(x)的反函数过点（7,2），求y=f(x)的值域。答案：（1）反函数的值域为y|y1；（2）y=f(x)的值域为y|y2解析：（1）反函数的值域即原函数的定义域，由题目易知，原函数定义域需要分母不为零，即x1，故反函数值域为y|y1；（2）反函数过（7,2）带入方程，得a=2，于是f(x)= 2x+3x-1=2x-2+5x-1=2(x-1)+5x-1=2+5x-12，即y=f(x)的值域为y|y2。
