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1、2022-2023学年湖南省衡阳市湘衡盐矿子弟中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案：A略2. 图是设某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 侧视图参考答案：D3. 已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinx的图象，则等于（）ABCD参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换；H2：正弦函数的图象【分析】利用函数y
2、=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的周期性，求得的值【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为=，=2，其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x+）=sin2x的图象，+=2k，kZ，则=，故选：C4. 从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为（A） （B） （C） （D）参考答案：答案：C解析：从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除。所有的三位数有个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有1，4，7、被3除余2的有2，5，8，被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，
3、则可以分类讨论：三个数字均取第一组，或均取第二组，有个； 若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有个； 若三组各取一个数字，第三组中不取0，有个，若三组各取一个数字，第三组中取0，有个，这样能被3 整除的数共有228个，不能被整除的数有420个，所以概率为=，选C。5. 已知，则直线与圆的位置关系为（）A相离 B相切 C相交 D不确定参考答案：C略6. 双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为( )A B C D 参考答案：B7. 函数 的定义域是 （ ）A B. C. D.参考答案：C略8.
4、某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的为24，则 输出的的值分别为 （）A . B .C. D . 参考答案：B略9. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（）AB C D参考答案：由z=i（i+1）=，及共轭复数定义得.10. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，C的半径为2，G为C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）ABCD参考答案：A【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线的顶点坐标，写出圆的方程，设出G的坐标，推出P的坐标，利用两点间距离公式求解最值
5、【解答】解：抛物线与x轴交于A，B两点，可得A（1，0），B（9，0），D（5，0），C（5，3），圆的方程为：（x5）2+（y3）2=4，设G（5+2cos，3+2sin）P为AG的中点，可得P（3+cos， +sin）DP=，其中tan=故选：A【点评】本题考查抛物线的简单性质以及圆的参数方程与三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题以及转化思想的应用二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 为贯彻落实教育部等6部门关于加快发展青少年校园足球的实施意见，全面提高我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技能，市教体局决定举行秋季校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲中学选拔了20
6、名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，得到茎叶图如下：这20名学生的身高中位数、众数分别为 参考答案：177，178【考点】极差、方差与标准差【专题】计算题；数形结合；数形结合法；概率与统计【分析】由茎叶图得这20名学生的身高从小到大依次排列，能求出这20名学生的身高的中位数和众数【解答】解：由茎叶图得这20名学生的身高从小到大依次为：168，174，174，175，175，175，175，176，176，176，178，178，178，178，178，182，185，185，185，188位于中间的两个数是176和178，这20名学生的身高的中位数是：=177，出现次数最多的是178
7、，这20名学生的身高的众数为178故答案为：177，178【点评】本题考查中位数、众数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用12. 已知椭圆C1：=1（ab0）和圆C2：x2+y2=r2都过点P（1，0），且椭圆C1的离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1，圆C2于点A，B，C，D（如图），k1=k2，若直线BC恒过定点Q（1，0），则=参考答案：2考点： 直线与圆锥曲线的关系专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据k1=k2，应该找到k1，k2的关系式，再结合直线分别与直线相交，交点为A，B，C，D，用k把相应的点的坐标表示出来（将直线代入椭
8、圆的方程消去关于x的一元二次方程，借助于韦达定理将A，B，C，D表示出来），再想办法把Q点坐标表示出来，再利用B，C，Q三点共线构造出关于k1，k2的方程，化简即可解答： 解：设A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），由得：，xP=1，则点A的坐标为：由得：，xP=1，则点B的坐标为：同理可得：，根据B、C、Q三点共线，结合Q（1，0）所以=（）化简得=2故答案为：2点评： 本题的计算量较大，关键是如何找到k1，k2间的关系表示出来，最终得到的值13. 已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部，则的取值范围是_.参考答案：略14. 已知f（x）=
9、，则f（2011）=参考答案：考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数的性质求解解答：解：f（x）=，f（2011）=f（1005）f（1）=f（0）=1=故答案为：点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用15. P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为 参考答案：16. 已知向量满足，.若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是_.参考答案：略17. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积G210 解析：该几何体为直四棱柱，底
10、面为直角梯形，S=（2+3）2=5，h=2；故V=Sh=52=10故答案为：10【思路点拨】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为直四棱柱三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分14分）已知二次函数的图像过点，且， , 数列满足，且，（）求数列的通项公式（）记，求数列的前n项和。参考答案：() 11分 14分19. （本小题满分12分）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且. （）求函数的表达式； （）若将图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，
11、得到的图象， 若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.参考答案：由直线是图象的一条对称轴，可得， 所以，即 又，所以，故. 20. （本小题满分分）选修44：坐标系与参数方程选讲已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程参考答案：（1）将 代入 ，得的参数方程为曲线的普通方程为 5分（2）设，又，且中点为所以有： 又点在曲线上，代入的普通方程得动点的轨迹方程为 10分21. 已知函数f(x)x3ax2x2(aR)(1)若f(x)在(0,1)上是减函数
12、，求a的最大值；(2)若f(x)的单调递减区间是(，1)，求函数yf(x)的图像过点(1,1)的切线与两坐标轴围成图形的面积参考答案：(1)f (x)3x22ax1，由题意可得f (x)在(0,1)上恒有f (x)0，则f (0)0且f (1)0，得a1，所以a的最大值为1.(2)f(x)的单调递减区间是(，1)，f (x)3x22ax10的两根为和1，可求得a1，f(x)x3x2x2，设切线的切点为(x0，y0)，则有3x2x01，y0xxx02，解得x01或x00，则切线斜率为k0或k1，切线方程为y1，xy20，与两坐标轴围成的图形为直角梯形，面积为S(12)1.22. （本小题满分12分）如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱被平面所截而得 ，为的中点（）当时，求平面与平面的夹角的余弦值；（）当为何值时，在棱上存在点，使平面？参考答案：（1）分别取、的中点、，连接、以直线、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、的坐标分别为（1，0，1）、（0，3）、（-1，0，4），=（-1，2），=（-2，0，3） 设平面的法向量，由得，可取 平面的法向量可以取 平面与平面的夹角的余弦值为 （2）在（1）的坐标系中，=（-1，2），=（-2，0，-1）因在上，设，则于是平面的充要条件为由此解得，即当=2时，在上存在靠近的第一个四等分点，使平面
