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1、上海市嘉定区徐行中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ）A.1B. 1C. 2D. 2参考答案：B【分析】利用复数乘法、除法运算化简，由此求得的共轭复数，进而求得的虚部.【详解】依题意，故，其虚部为1.故选：B.【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题.2. 将函数图像所有点横坐标缩短为原来一半，再向右平移，得到函数的图像，那么关于的论断正确的是（ ）（A）周期为，一个对称中心为 （B）周期为，一个对称中心为（C）
2、最大值为2，一条对称轴为 （D）最大值为1，一条对称轴为参考答案：C3. 设，则（ ）A BC D参考答案：B4. 一束光线从点出发经轴反射到圆C：上的最短路程是 （ ）A. 4 B. C. 5 D. 参考答案：A略5. 已知平面向量的夹角为，且，在中，D 为BC的中点，则（ ）A2 B4 C6 D8参考答案：A略6. 已知定义在上的函数满足，且， ，若有穷数列（）的前项和等于，则等于( )A4 B5 C6 D 7参考答案：B略7. 对命题“x0R,x02-2x0+40”的否定正确的是（ ） Ax0R,x02-2x0+40 BxR,x2-2x+40 CxR,x2-2x+40 DxR,x2-2x
3、+40参考答案：C8. 已知,则二项式的展开式中的系数为（ ）A B C D参考答案：C9. 已知全集，集合，则(?IA)B为（ ）A1,3 B3 C1,3,4 D3,4参考答案：C略10. 已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（）ABCD参考答案：A【考点】椭圆的简单性质【分析】由选项均为具体值，可知本题适合于特值法不妨取直线的斜率为1由此推导出|NF|：|AB|的值【解答】解：不妨取直线的斜率为1，右焦点F（2，0），直线AB的方程为y=x2联立方程组，得14x236x9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2
4、），则，AB中点坐标为（），则AB的中垂线方程为y+=（x），令y=0，得x=，点N的坐标（，0）|NF|=，|AB|=，|NF|：|AB|=，故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 椭圆的左、右焦点分别为，顶点到的距离为4，直线上存在点，使得为底角是的等腰三角形，则此椭圆方程为 参考答案： 12. 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 参考答案：13. 椭圆的离心率为，则的值为 _。参考答案： 14. “”是“”的 条件；（填：充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件之一。）参考答案：充分非必要条件15. 如图（1），在等腰直
5、角ABC中，斜边AB4，D为AB的中点，将ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥CABD，若三棱锥CABD的外接球的半径为，则ADB=_.图（1） 图（2） 参考答案：【分析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决【详解】解：球是三棱锥CABD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图根据题意，CD平面ABD，取CD的中点E，AB的中点G，连接CG，DG，因为ADBD，CD平面ABD，所以A和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A
6、BD于点F，则OF平面ABD，且OFDE1，因为AF在平面ABD内，所以OFAF，即三角形AOF为直角三角形，且斜边OAR，AF2，所以，BF2，所以四边形ADBF为菱形，又知ODR，三角形ODE为直角三角形，OE2，三角形ADF为等边三角形，ADF，故ADB，故填：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键属于中档题16. 参考答案：略17. 若直线平分圆的面积，则直线的倾斜角为 （用反三角函数值表示）参考答案：-arctan2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换设M是把坐标
7、平面上的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.(I)求矩阵M的特征值及相应的特征向量;(II)求逆矩阵M-1及椭圆在M-1的作用下的新曲线的方程.参考答案：(I)同条件得矩阵,它的特征值为2、3,对应的特征向量为、;(II),新曲线方程为x2+y2=1.略19. 设函数f（x）=|12x|3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+=Mab（）求M；（）是否存在a，b，使得a6+b6=？并说明理由参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用【专题】分类讨论；反证法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）直接采用零点分段法确定函数的最值；（2
8、）先假设存在，再两次运用基本不等式得出和相互矛盾，所以假设不成立【解答】解：（1）分三类讨论如下：当x1时，f（x）=x+4，单调递增，f（x）3；当1x时，f（x）=5x2，单调递减，f（x）max=f（1）=3，当x时，f（x）=x4，单调递减，f（x）f（）=，综合以上讨论得，f（x）的最大值M=3；（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6=2=2a3b3，所以，又因为+=Mab=3ab2?，所以，显然相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6=【点评】本题主要考查了分段函数最值的确定，以及基本不等式在解题中的应用，运用了零点分段法和反证法，属于中档题20. 已知a，b是实
9、数，1和1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】（1）先求函数的导函数，然后根据1和1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，则f（1）=0，f（1）=0，建立方程组，解之即可求出a与b的值；（2）先求出g（x）的解析式，求出g（x）=0的根，判定函数的单调性，从而函数的g（x）的极值点【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f（x）=3x2+2ax+b1和1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，f（1）=3+2a+b
10、=0，f（1）=32a+b=0，解得a=0，b=3（2）由（1）得，f（x）=x33x，g（x）=f（x）+2=x33x+2=（x1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=2当x2时，g（x）0；当2x1时，g（x）0，x=2是g（x）的极值点当2x1或x1时，g（x）0，x=1不是g（x）的极值点g（x）的极值点是221. 长方形ABCD中，沿对角线AC将折起，使D点到P点的位置，且二面角P-AC-B为直二面角。（1）求PB长；（2）求三棱锥P-ABC外接球的表面积；（3）求二面角A-PB-C的平面角的余弦值。参考答案：解：（1）； 3分（2）AC中点即为外接球球心，球半径R=2，； 6分
11、（3）在平面图中，过D作DE垂直于AC，垂足为E，延长交AB于H，以EH为X轴，EC为Y轴，EP为Z轴建立空间直角坐标系（如图）， 7分易得： 9分设平面PAB的法向量为：，则，令z=1，得 11分设平面PBC的法向量为：，则，令x=1，得 13分设二面角A-PB-C的平面角为，则 14分22. 设的定义域为，对于任意正实数恒有且当时，. （1）求的值；（2）求证：在上是增函数； （3）解关于的不等式，其中参考答案：解析: (1)令-2(2)设,则, 即(3)由,又 -6 又由(2)知,在为单调递增函数 -7 1 此时 -9 2,-10 3当,解之得 -11综上: 当原不等式得解集为当原不等式得解集为当原不等式得解集为-12
