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1、广东省惠州市霞涌中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若是奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（ ） A. B. C. D.参考答案：C2. 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A2B3C4D5参考答案：D【考点】等差数列的性质【分析】由等差数列的性质和求和公式，将通项之比转化为前n项和之比，验证可得【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=7+，验证知，当n=1，2，3，5，11时为整数故选：D3. 已知函数，若，
2、则实数m的取值范围是（ ）A(1,0)(1,+)B(,1)(1,+)C(1,0)(0,1)D(,1)(0,1) 参考答案：A由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式，即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是故选A4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )ABCD3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示
3、，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则SAED=，SABC=SADE=，SACD=，故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力5. 袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随
4、机数：由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】随机模拟产生了18组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率【详解】随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112342 241 244 431 233 214 344 142 134其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为p故选B【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题
5、6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )ABCD参考答案：B ：因为函数的定义域为，所以12x10，得0x ，所以选B7. 双曲线（p0）的左焦点在抛物线y22px的准线上，则该双曲线的离心率为 （ ）A B C 2 D1 参考答案：A略8. “mn0”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件(C)充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：B9. 已知，且，则向量与向量的夹角是 （ ）A B C D参考答案：答案：B 10. 已知，则的大小关系为、 、 、 、参考答案：D已知，由指数函数性质易知，又，故选.另：，亦得.二、 填空题:本大题共7小
6、题,每小题4分,共28分11. （5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为参考答案：【考点】： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64，圆锥的底面积为：12，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可
7、以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：42=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：故答案为：【点评】： 本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型12. 若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+lna20=参考答案：50【考点】等比数列的性质 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案解：数列an为等比数列，且a10a11+a9
8、a12=2e5，a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，a10a11=e5，lna1+lna2+lna20=ln（a1a2a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50故答案为：50【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题13. 已知向量a(3，4)，b(1，m)，且b在a方向上的投影为1，则实数m 参考答案：214. 已知，且，则 参考答案：-115. 设函数，则f（f（1）的值是参考答案：16【考点】函数的值【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数求解函数值即可【解答】解：函数，
9、则f（f（1）=f（1+3）=f（4）=24=16故答案为：16【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力16. 已知F是抛物线的焦点，M、N是该抛物线上的两点，则线段MN的中点到轴的距离为_.参考答案：17. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为，外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为_.参考答案：因为正四棱柱外接球的体积为，所以,即外接球的半径为，所以正四棱柱的体对角线为，设底面边长为，则，解得底面边长。所以三角形为正三角形，所以，所以A、B两点的球面距离为.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 若， 且（1）求对所
10、有实数成立的充要条件（用表示）（2）设为两实数，且若求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。参考答案：【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*） 由于的最大值为， 故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论 （i）当时，由（1）知（对所有实数）则由及易知， 再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区间的长度为（参见示意图1）（ii）时，不妨设，则，于是 当时，有，从而；当时，有从而 ；当时，及，由方程 解得图象交点的横坐标为 显然，这表明在
11、与之间。由易知 综上可知，在区间上， （参见示意图2）故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 故由、得 综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。 19. 在数列an中，a12，an是1与anan+1的等差中项（1）求证：数列是等差数列，并求an的通项公式（2）求数列的前n项和Sn参考答案：（1）证明见解析，an1；（2）Sn【分析】（1）由等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得所求；（2）求得，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和【详解】（1）a12，an是1与anan+1的等差中项，可得2an1+anan+1，即an+1，an+11
12、，可得1，可得数列是首项和公差均为1的等差数列，即有n，可得an1；（2），则前n项和Sn11【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意变形和等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题20. （本小题满分10分）在三棱锥SABC中,底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱SA和底面成45角(1) 若D为侧棱SA上一点，当为何值时，BDAC；(2) 求二面角SACB的余弦值大小参考答案：以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以，所以所以O(0,0,0)，C(,0
13、,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(,0,0)2分（1）设AD=a，则D(0,3a,a)，所以=(,3a,a)，=(,3,0)若BDAC，则=33(3a)=0，解得a=2，而AS=3，所以SD=，所以5分(2)因为=(0,3,3)，=(2,0,0)设平面ACS的法向量为n1=(x,y,z),则令z=1，则x=，y=1，所以n1=(,1,1)7分而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1), 8分所以cos=，又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.10分21. 开口向下的抛物线在第一象限内与直线相切此抛物线与轴所围成的图形的面积记为（1）求与的关系式，并用表示的表达式；（2）求使达到最大值的、值，并求参考
