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1、山东省烟台市龙口经济开发区中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=ax3+1（a0，且a1）的图象恒过定点P，则定点P的坐标为( )A（3，3）B（3，2）C（3，6）D（3，7）参考答案：B【考点】指数型复合函数的性质及应用 【专题】数形结合法；函数的性质及应用【分析】解析式中的指数x3=0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标【解答】解：由于指数函数y=ax（a0，且a1）的图象恒过定点（0，1），故令x3=0，解得x=3，当x=3时，f（3）
2、=2，即无论a为何值时，x=3，y=2都成立，因此，函数f（x）=ax3+1的图象恒过定点的（3，2），故选B【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，主要是指数函数y=ax的图象恒过定点（0，1）应用，属于基础题2. 已知函数 则（ ）A是奇函数，且单调递减； B.是偶函数，且单调递减；C是奇函数，且单调递增； D.是偶函数，且单调递增；参考答案：C3. 下列定义在上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是 ABCD参考答案：A4. 已知x0，1，则函数的值域是（）ABCD参考答案：C【考点】函数单调性的性质；函数的值域【分析】根据幂函数和复合函数的单调性的判定方法可知该函数是增函数，根据
3、函数的单调性可以求得函数的值域【解答】解：函数y=在0，1单调递增（幂函数的单调性），y=在0，1单调递增，（复合函数单调性，同增异减）函数y=在0，1单调递增，y，函数的值域为，故选C5. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是_A.y=2xB.y=sinx C.y=log2xD.y=x|x|参考答案：D6. 若集合，则集合=（ ）A B C D参考答案：A略7. 设数列an满足，且，若x表不不超过x的最大整数，则（ ）A2015 B2016 C2017 D2018参考答案：C8. 无穷数列1,3,6,10的通项公式为（ ）A B C. D 参考答案：C9. 三个数 的大小顺序为（
4、 ）A B C D参考答案：C，则，故选C。10. 下列函数中，是奇函数且在区间（1，0）内单调递减的函数是（）Ay=2xBy=xCy=Dy=tanx参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可判断出A错误，可判断y=x和y=在（1，0）内单调递增便可判断B错误，而根据y=为偶函数即可判断出C错误，根据y=tanx的图象便可判断出D正确【解答】解：A根据y=2x的图象知该函数不是奇函数，该选项错误；By=x和y=在（1，0）内都单调递增，y=x在（1，0）内单调递增，该选项错误；Cy=为偶函数，该选项错误；D由y=tanx的图象知该函数在（1，0）内单调递减，
5、该选项正确故选D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若，则的值为 参考答案：012. 一个正方体的顶点都在球O的球面上，它的棱长是a，则球O的体积为_.参考答案：【分析】根据正方体外接球半径为体对角线的一半可求得半径，代入球的体积公式可求得结果.【详解】由题意知，球为正方体的外接球正方体外接球半径为体对角线的一半 球体积为：本题正确结果：【点睛】本题考查正方体外接球的体积的求解问题，关键是明确正方体外接球半径为体对角线的一半，属于基础题.13. 方程的根满足，求满足的范围_。参考答案：略14. 已知，函数，若实数m，n满足，则m与n的大小关系为 。参考答案：；1
6、5. 已知是等差数列的前项和，若，则_.参考答案：416. 函数y=sin2x+2cosx3的最大值是 .参考答案：-1 略17. 若数列是等差数列，前n项和为Sn，= 参考答案：1 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中米活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平
7、线的夹角满足.（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3）参考答案：（）能（）米且米【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设太阳光线所在直线方程为y=x+b，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大.【详解】解：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系 （1）因为AB18米，AD6米，所以半圆的圆心为H(9,6)，
8、半径r9.设太阳光线所在直线方程为yxb，即3x4y4b0，则由9，解得b24或b (舍)故太阳光线所在直线方程为yx24, 令x30，得EG1.52.5.所以此时能保证上述采光要求（2）设ADh米，AB2r米，则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.方法一设太阳光线所在直线方程为yxb， 即3x4y4b0，由r，解得bh2r或bh (舍)故太阳光线所在直线方程为yxh2r，令x30，得EG2rh，由EG，得h252r.所以S2rhr22rhr22r(252r)r2r250r(r10)2250250.当且仅当r10时取等号所以当AB20米且AD5米时，可使得活动中心的截面面积最大方法二欲使活动中
9、心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y(x30)， 即3x4y1000.由直线l1与半圆H相切，得r.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r4h1000，即r，从而h252r.又S2rhr22r(252r)r2r250r(r10)2250250.当且仅当r10时取等号所以当AB20米且AD5米时，可使得活动中心的截面面积最大【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题19. 已知函数（1）若，有，求的取值范围；（2）当有实数解
10、时，求的取值范围。参考答案：解：（1）设，则原函数变形为 其对称轴为。时，函数在上单调递增，所以函数值域为。因此有4分时，有 ，所以此时函数恒成立。6分时，函数在上单调递减，有综上所述：8分（2）时，函数在上单调递增，因此有10分时，有 ，所以此时无解。时，函数在上单调递减，有综上所述：14分略20. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，（）证明：;（）求与平面所成角的正弦值参考答案：解法一： （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2， 连结SE，则 又SD=1，故， 所以为直角。3分 由， 得平面SDE，所以。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以平面SAB。
11、6分 （II）由平面SDE知， 平面平面SED。 作垂足为F，则SF平面ABCD， 作，垂足为G，则FG=DC=1。 连结SG，则，又， 故平面SFG，平面SBC平面SFG。9分 作，H为垂足，则平面SBC。 ，即F到平面SBC的距离为 由于ED/BC，所以ED/平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 设AB与平面SBC所成的角为， 则-12分解法二： 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。又设 （I），由得故x=1。由又由即3分于是，所以平面SAB。6分 （II）设平面SBC的法向量，则又故9分取
12、p=2得。故AB与平面SBC所成的角正弦为-12分21. 据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长220%，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照50,60)，60,70)，90,100)分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中x的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在50,60)内的男女司机人数比为3:2，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.参考答案：（1）
13、，中位数的估计值为75（2）【分析】（1）根据频率和为1计算，再判断中位数落在第三组内，再计算中位数.（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，女司机为：，.排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为1得.则.第一组和第二组的频率和为，则中位数落在第三组内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75.（2） 设事件：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.的人数为人.该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，女司机为：，.5人抽取2人进行座谈有：，共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为.随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是.【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力
