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1、北京中央音乐学院附属中学高一数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合（）A0或B0或3C1或D1或3 参考答案：B2. 若直线与直线垂直，则实数a的值是（ ）A. B. 1C. D. 2参考答案：A【分析】根据直线的垂直关系求解.【详解】由与垂直得：，解得 ，故选A.【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,属于基础题.3. 已知集合A=x|x2+x60，xR，B=x|4，xZ，则AB=（）A（0，2）B0，2C0，2D0，1，2参考答案：D【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式
2、的解集确定出A，求出B中不等式的整数解确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x2）（x+3）0，解得：3x2，即A=3，2，由B中不等式变形得：0x16，xZ，即B=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，则AB=0，1，2，故选：D4. 已知定义在区间0，2上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（2x）的图象为（）ABCD参考答案：A【考点】函数的图象【专题】计算题【分析】由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可求f（x），进而可求y=f（2x），根据一次函数的性质，结合选项可可判断【解答】解：由（0，2）上的函数y=
3、f（x）的图象可知f（x）=当02x1即1x2时，f（2x）=2x当12x2即0x1时，f（2x）=1y=f（2x）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项A正确故选A【点评】本题主要考查了一次函数的性质在函数图象中的应用，属于基础试题5. 四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是() AB平面C与平面所成的角等于与平面所成的角D与所成的角等于与所成的角参考答案：D6. 若a，b，c为实数，则下列命题错误的是（）A若ac2bc2，则abB若ab0，则a2b2C若ab0，则D若ab0，cd0，则acbd参考答案：B【考点】R3：不等式的基本性质【分析】根据不等式的基本性质，判断每个选
4、项即可【解答】解：对于A：若ac2bc2，则ab，故正确，对于B：根据不等式的性质，若ab0，则a2b2，故B错误，对于C：若ab0，则，即，故正确，对于D：若ab0，cd0，则acbd，故正确故选：B7. 已知，是两个单位向量，且 若点C在AOB内，且AOC=30，（m，nR），则=（）AB3CD参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】依题意建立直角坐标系，加上点C在AOB内的限制，可得点C的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解【解答】解：因为，是两个单位向量，且所以，故可建立直角坐标系如图所示则=（1，0），=（0，1），故=m（1，0）+n（0，1）=（m，n），又点
5、C在AOB内，所以点C的坐标为（m，n），在直角三角形中，由正切函数的定义可知，tan30=，所以=，故选D8. 已知样本数据x1，x2，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a ，x4，x5，x6，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为()参考答案：B略9. 如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（）ABCD参考答案：C【考点】异面直线的判定【分析】利用一面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来【解答】解：A 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件B 中的PQ
6、与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件D 中，由于PR平行且等于SQ，故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D不满足条件C 中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项C满足条件故选 C10. 三个数，的大小关系是（ ）A BC D 参考答案：A由题，三者大小关系为故选二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f (x) = x2 + (a 1)x + 2在(，4上是减函数，则常数a的取值范围是 参考答案：(，312. 在三角形ABC中，如果 .参考答案：213. 过点O(0,0)引圆C:的两条切线OA,OB
7、，A,B为切点，则直线AB的方程是_参考答案：2x+2y-7=014. 已知偶函数在区间0,+)上单调增加，则满足的的取值范围是_参考答案：是偶函数，不等式等价于，又在区间上单调递增，解得，故满足的的取值范围是15. 若函数f（x）=x22ax+b（a1）的定义域与值域都是1，a，则实数b=参考答案：5略16. 已知等腰三角形底角的余弦值等于，则这个三角形顶角的正弦值为_参考答案：【分析】已知等腰三角形可知为锐角，利用三角形内角和为，建立底角和顶角之间的关系，再求解三角函数值。【详解】设此三角形的底角为，顶角为，易知为锐角，则，所以【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数
8、求解未知的函数值。17. 已知幂函数f（x）=（a2a+1）?是偶函数，则实数a的值为_参考答案：1考点：幂函数的性质 专题：转化思想；数学模型法；函数的性质及应用分析：幂函数f（x）=（a2a+1）?是偶函数，可得a2a+1=1，是偶数解出即可得出解答：解：幂函数f（x）=（a2a+1）?是偶函数，a2a+1=1，是偶数解得a=1故答案为：1点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知用a,b来表示下列式子。（8分）（1） （2）参考答案：（1）解：（2）解：: 19
9、. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点， 、 、三点满足.（1）求证：、三点共线；（2）已知、， 的最小值为，求实数的值. 参考答案：(1) ，又与 有公共点 ，故 、 、三点共线. 4分（2） ， ，故 ， 从而 8分关于的二次函数的对称轴为 ， ， 又区间的中点为1 当，即时， 当时， 由得或 ， 又，； 当，即时， 当时， 由得，又，综上所述：的值为或. 14分20. 已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lgM，求a的取值范围；（3
10、）设函数y=2x图象与函数y=x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2M参考答案：【考点】对数的运算性质【分析】（1）集合M中元素的性质，即有f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；（2）根据f（x0+1）=f（x0）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用f（x0+1）=f（x0）+f（1）和f（x）=2x+x2M，整理出关于x0的式子，利用y=2x图象与函数y=x的图象有交点，即对应方程有根，与求出的
11、式子进行比较和证明【解答】解：（1）若f（x）=M，在定义域内存在x0，则+1=0，方程x02+x0+1=0无解，f（x）=?M；（2）由题意得，f（x）=lgM，lg+2ax+2（a1）=0，当a=2时，x=；当a2时，由0，得a26a+40，a综上，所求的；（10分）（3）函数f（x）=2x+x2M，3=，又函数y=2x图象与函数y=x的图象有交点，设交点的横坐标为a，则，其中x0=a+1f（x0+1）=f（x0）+f（1），即f（x）=2x+x2M（16分）【点评】本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简
12、，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力21. （本题满分12分,第1问4分，第二问8分）甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，且比例系数为0.02；固定部分为200元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？全程运输成本最小是多少？参考答案：解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 3分故所求函数及其定义域为，4分(2)依题意，有
13、当且仅当，即时上式中等号成立而，所以1当，时，取最小值所以也即当v=100时，全程运输成本y最小达到1200元8分2当，即时，取，达到最小值，即也即当v=c时，全程运输成本y最小达到元（ 12分）综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为100，此时运输成本为1200元；当时行驶速度应为v=c，此时运输成本为 12分略22. (本小题满分12分) 如图1，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示 （）证明：AD平面PBC； （）求三棱锥DABC的体积； （）在ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ平面ABD，并求此时PQ的长参考答案：证明：（） 由三视图可得在中， -4分（） -8分（）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ2CO，
