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1、湖南省娄底市伏口中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象大致是参考答案:A2. 我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为()A3B5CD参考答案:B【考点】类比推理【分析】类比点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=,可知在空间中,d=5【解答】解:类比点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=,可知在空间中,点P(x0,y0,z0)到直线Ax
2、+By+Cz+D=0的距离d=点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离d=5故选B3. 已知a,b是实数,则“|a-b|a|+|b|”是“ab0”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案:B略4. 已知圆的方程为,则此圆的半径是(A)1 (B) (C)2 (D) 参考答案:C略5. 已知i为虚数单位,与相等的复数是( )A B C D参考答案:C6. 为平行四边形的一条对角线,( ) ABCD参考答案:D因为所以,即,选D.7. 如图,已知A、B分别是函数f(x)=cos(x)(0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点,且AOB=,则为
3、了得到函数y=sin(x+)的图象,只需把函数y=f(x)的图象()A向左平行移动个单位长度B向左平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向左平行移动个单位长度参考答案:C【考点】HJ:函数y=Asin(x+)的图象变换;HL:y=Asin(x+)中参数的物理意义【分析】先求得A、B的坐标,再利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式求得T的值,可得的值,再利用函数y=Asin(x+)的图象变换规律,的出结论【解答】解:函数f(x)=cos(x)=sinx,设函数f(x)的周期为T,则点A(,)、B(,),根据AOB=,可得=3=0,T=4=,=,f(x)=sinx由于函数y=sin(x
4、+)=sin(x+),故只需把函数y=f(x)的图象向左平行移动个单位长度,故选:C【点评】本题中主要考查诱导公式,正弦函数的周期性,两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,函数y=Asin(x+)的图象变换规律,属于基础题8. 若曲线和上分别存在点A和点B,使得是以原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上,则实数a的取值范围是( )A B C D参考答案:A设,则,又由,由题意,所以,所以,因为,所以,所以,令,则,设,则,当时,单调递减,当时,单调递增,所以函数的最小值为,又因为,所以实数的取值范围是,故选A9. 如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则( )A. B.
5、C. D.参考答案:B10. 设,都是不等于1的正数,则“”是“”的( )A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件参考答案:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算_.参考答案:-2012. (极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线的参数方程为(为参数),直线的方程为,则曲线上到直线距离为的点的个数有_个 参考答案:13. 若向量,则的最大值为 . 参考答案:因为向量,所以,所以 ,所以的最大值为16,因此的最大值为4.14. 求值(+x)dx= 参考答案:ln2+6【考点】定积分【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解:(+x)dx=(
6、lnx+)|=ln4+8ln22=ln2+6故答案为:ln2+615. 设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点,且满足ABAC,ADAC,ABAD,则SABC+SABD+SACD的最大值是参考答案:8考点:球内接多面体分析:根据题意,以AB、AC、AD为长、宽、高作长方体,可得长方体与三棱锥DABC有相同的外接球从而算出长方体的对角线长为4,得AB2+AC2+AD2=16再利用基本不等式求最值即可算出SABC+SABD+SACD的最大值解答:解:ABAC,ADAC,ABAD,以AB、AC、AD为长、宽、高,作长方体如图所示可得长方体的外接球就是三棱锥DABC的外接球球的半径为2,可得直径为4
7、长方体的对角线长为4,得AB2+AC2+AD2=16SABC=AB?AC,SABD=AB?AD,SACD=AC?ADSABC+SABD+SACD=(AB?AC+AB?AD+AC?AD)AB?AC+AB?AD+AC?ADAB2+AC2+AD2=16当且仅当AB=AC=AD时,等号成立当且仅当AB=AC=AD时,SABC+SABD+SACD的最大值为8故答案为:8点评:本题求内接于球的三棱锥的侧面积的最大值,着重考查了球内接多面体、长方体的性质和基本不等式求最值等知识,属于中档题16. 函数的值域是.参考答案:略17. 双曲线的左,右焦点分别为,已知线段被点分成5:1两段,则此双曲线的离心率为 参
8、考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (12分)如图,已知四棱锥S-ABCD中,SA平面ABCD,在直角梯形ABCD中,ADBC,,SA=AD=AB=1,M为BC的中点。(1) 求证:SMAD;(2) 求二面角A-SB-C的大小。(3) 求点M到平面SDC的距离。参考答案:解析:解法一:(1)在直角梯形ABCD中,过点A作AN垂直BC,垂足为N,易得BN=1,同时四边形ANCD是矩形,则CN=1,点N为BC的中点,所以点N与点M重合,2分连结AM,因为平面ABCD,所以,又ADBC,所以SMAD4分(2)过点A作AG垂直SM于点G,易证平
9、面SAM,则,在RT中, ,7分又AD平面SBC,所以点D到平面SBC的距离为点A到平面SBC的距离AG,大小值为;8分(3)取AB中点E,因为是等边三角形,所以,又,得,过点E作EF垂直SB于点F,连结CF,则,所以是二面角A-SB-C的平面角10分在RT中,.在RT中,所以二面角A-SB-C的大小为12分解法二:(1)同解法一(2)根据(1),如图所示,分别以AM,AD,AC所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系有A(0,0,0),M(,0,0),B(,-1,0),C(,1 ,0),D(0,1 ,0),S(0,0 ,1)所以,,设平面SBC的法向量,则,即,解得,取6分又=,则点D到平面
10、SBC的距离8分(3)设平面ASB的法向量,则,即,解得,取10分所以,则二面角A-SB-C的大小为12分19. (12分)已知在锐角中,角、的对边分别为、,且,(I)求; (II)求函数的最小值及单调递减区间.参考答案:解析:(1)由题意得, 2分 ; 从而, 4分又,所以 6分(2)由(1)得8分因为,所以,所以当时,取得最小值为110分且的单调递减区间为 12分20. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为()求cosB的值;()若,求a和c的值参考答案:【考点】余弦定理;同角三角函数基本关系的运用【分析】(1)利用诱导公式求出sin的值,从而利用二倍角的余弦公式求得cosB(2)由两个向
11、量的数量积的定义求出ac的值,再利用余弦定理求出a和c的值【解答】解:(1)cos=,sin=sin()=,cosB=12sin2=(2)由?=2可得 a?c?cosB=2,又cosB=,故ac=6,由 b2=a2+c22accosB 可得a2+c2=12,(ac)2=0,故 a=c,a=c=21. (本小题满分12分)某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下左图所示.(1)请先求出频率分布表中、位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图;(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进
12、入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试,求:第4组至少有一名学生被考官A面试的概率?组号分组频数频率第1组50.050第2组0.350第3组30第4组200.200第5组100.100合计1001.00参考答案:解:(1)由题可知,第2组的频数为人, 1分第3组的频率为, 2分 频率分布直方图如右: 5分(2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人, 6分第4组:人, 7分第5组:人, 8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。(3)设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: , 10分其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的有: 9中可能, 11分所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为12分略22. (文)设函数,其中;(1)若的最小正周期为,求的单调增区间;(7分)(2)若函数的图象的一条对称轴为,求的值(7分)参考答案:文)(1)