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1、湖南省娄底市伏口中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象大致是参考答案：A2. 我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（）A3B5CD参考答案：B【考点】类比推理【分析】类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，d=5【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到直线Ax
2、+By+Cz+D=0的距离d=点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离d=5故选B3. 已知a，b是实数，则“|a-b|a|+|b|”是“ab0”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案：B略4. 已知圆的方程为,则此圆的半径是(A)1 (B) (C)2 (D) 参考答案：C略5. 已知i为虚数单位，与相等的复数是（ ）A B C D参考答案：C6. 为平行四边形的一条对角线，（ ） ABCD参考答案：D因为所以，即，选D.7. 如图，已知A、B分别是函数f（x）=cos（x）（0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且AOB=，则为
3、了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=f（x）的图象（）A向左平行移动个单位长度B向左平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向左平行移动个单位长度参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换；HL：y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】先求得A、B的坐标，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式求得T的值，可得的值，再利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，的出结论【解答】解：函数f（x）=cos（x）=sinx，设函数f（x）的周期为T，则点A（，）、B（，），根据AOB=，可得=3=0，T=4=，=，f（x）=sinx由于函数y=sin（x
4、+）=sin（x+），故只需把函数y=f（x）的图象向左平行移动个单位长度，故选：C【点评】本题中主要考查诱导公式，正弦函数的周期性，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题8. 若曲线和上分别存在点A和点B，使得是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（ ）A B C D参考答案：A设，则，又由，由题意，所以，所以，因为，所以，所以，令，则，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数的最小值为，又因为，所以实数的取值范围是，故选A9. 如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）A. B.
5、C. D.参考答案：B10. 设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算_.参考答案：-2012. (极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数有_个 参考答案：13. 若向量,则的最大值为 . 参考答案：因为向量,所以，所以 ，所以的最大值为16，因此的最大值为4.14. 求值（+x）dx= 参考答案：ln2+6【考点】定积分【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：（+x）dx=（
6、lnx+）|=ln4+8ln22=ln2+6故答案为：ln2+615. 设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足ABAC，ADAC，ABAD，则SABC+SABD+SACD的最大值是参考答案：8考点：球内接多面体分析：根据题意，以AB、AC、AD为长、宽、高作长方体，可得长方体与三棱锥DABC有相同的外接球从而算出长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16再利用基本不等式求最值即可算出SABC+SABD+SACD的最大值解答：解：ABAC，ADAC，ABAD，以AB、AC、AD为长、宽、高，作长方体如图所示可得长方体的外接球就是三棱锥DABC的外接球球的半径为2，可得直径为4
7、长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16SABC=AB?AC，SABD=AB?AD，SACD=AC?ADSABC+SABD+SACD=（AB?AC+AB?AD+AC?AD）AB?AC+AB?AD+AC?ADAB2+AC2+AD2=16当且仅当AB=AC=AD时，等号成立当且仅当AB=AC=AD时，SABC+SABD+SACD的最大值为8故答案为：8点评：本题求内接于球的三棱锥的侧面积的最大值，着重考查了球内接多面体、长方体的性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题16. 函数的值域是.参考答案：略17. 双曲线的左，右焦点分别为，已知线段被点分成5:1两段，则此双曲线的离心率为 参
8、考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA平面ABCD,在直角梯形ABCD中，ADBC,，SA=AD=AB=1，M为BC的中点。（1） 求证：SMAD；（2） 求二面角A-SB-C的大小。（3） 求点M到平面SDC的距离。参考答案：解析：解法一：（1）在直角梯形ABCD中，过点A作AN垂直BC，垂足为N，易得BN=1，同时四边形ANCD是矩形，则CN=1，点N为BC的中点，所以点N与点M重合,2分连结AM，因为平面ABCD，所以,又ADBC，所以SMAD4分（2）过点A作AG垂直SM于点G，易证平
9、面SAM,则，在RT中， ，7分又AD平面SBC,所以点D到平面SBC的距离为点A到平面SBC的距离AG,大小值为；8分（3）取AB中点E，因为是等边三角形，所以,又,得，过点E作EF垂直SB于点F，连结CF，则，所以是二面角A-SB-C的平面角10分在RT中，.在RT中，所以二面角A-SB-C的大小为12分解法二：（1）同解法一（2）根据（1），如图所示，分别以AM,AD,AC所在射线为x,y,z轴建立空间直角坐标系有A(0,0,0)，M（，0，0），B（，-1，0），C（,1 ,0），D（0,1 ,0）,S（0,0 ,1）所以，,设平面SBC的法向量，则,即，解得，取6分又=，则点D到平面
10、SBC的距离8分（3）设平面ASB的法向量，则,即，解得，取10分所以，则二面角A-SB-C的大小为12分19. (12分)已知在锐角中,角、的对边分别为、,且,(I)求； (II)求函数的最小值及单调递减区间.参考答案：解析：(1)由题意得, 2分 ； 从而, 4分又,所以 6分(2)由(1)得8分因为,所以,所以当时,取得最小值为110分且的单调递减区间为 12分20. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为（）求cosB的值；（）若，求a和c的值参考答案：【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用【分析】（1）利用诱导公式求出sin的值，从而利用二倍角的余弦公式求得cosB（2）由两个向
11、量的数量积的定义求出ac的值，再利用余弦定理求出a和c的值【解答】解：（1）cos=，sin=sin（）=，cosB=12sin2=（2）由?=2可得 a?c?cosB=2，又cosB=，故ac=6，由 b2=a2+c22accosB 可得a2+c2=12，（ac）2=0，故 a=c，a=c=21. （本小题满分12分）某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中、位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进
12、入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？组号分组频数频率第1组50.050第2组0.350第3组30第4组200.200第5组100.100合计1001.00参考答案：解：（1）由题可知，第2组的频数为人, 1分第3组的频率为, 2分 频率分布直方图如右: 5分（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人, 6分第4组:人, 7分第5组:人, 8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。（3）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: ， 10分其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的有: 9中可能, 11分所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为12分略22. （文）设函数，其中；（1）若的最小正周期为，求的单调增区间；（7分）（2）若函数的图象的一条对称轴为，求的值（7分）参考答案：文）（1）
