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1、湖南省怀化市会同县第三中学高二数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，函数,若在上是单调减函数，则的取值范围是A B C D参考答案：C略2. 若抛物线y2=2px，（p0）的焦点与双曲线=1（a0，b0）的右顶点重合，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点（2，1），则双曲线的离心率是( )ABCD参考答案：B考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点和双曲线的右顶点，以及抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，求得交点坐标，即可得到a=2，b=1，再由
2、a，b，c的关系和离心率公式，即可得到解答：解：抛物线y2=2px（p0）的焦点为（，0），双曲线=1（a0，b0）的右顶点为（a，0），则由题意可得a=，由于抛物线的准线为x=，双曲线的渐近线方程为y=x，则交点为（a，b），由题意可得a=2，b=1，c=e=故选B点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和抛物线的准线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题3. 已知抛物线C1：y=x2（p0）的焦点与双曲线C2：y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=( )ABCD参考答案：D【考点】抛物线的简单性质【专
3、题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p0）得x2=2py（p0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）由y2=1得a=，b=1，c=2所以双曲线的右焦点为（2，0）则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为由题意可知=，得x0=，代入M点得M（，）把M点代入得
4、：解得p=故选：D【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题4. 已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，其公比q1，且bi0（i=1，2，3，），若a1=b1，a11=b11，则( )Aa6=b6Ba6b6Ca6b6Da6b6或a6b6参考答案：B【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 【专题】计算题【分析】由题意可得 a1+a11=b1+b11=2a6，再由 b1+b112=2b6，从而得出结论【解答】解：由题意可得 a1+a11=b1+b11=2a6公比q1，bi0，b1+b1
5、12=2b6，2a62b6，即 a6b6，故选B【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于基础题5. 已知两条直线和互相垂直，则等于A. 2 B. 1 C. 0 D. 参考答案：D略6. 过原点的直线与双曲线（a0，b0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（）ABCD2参考答案：A【分析】设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）利用kPMkPN=，化简，结合平方差法求解双曲线C的离心率【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x
6、2，y2）由kPMkPN=，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，所以，所以c2=a2+b2=，所以双曲线C的离心率为e=故选：A7. 设f（x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）ABCD参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】压轴题；数形结合【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间【解答】解：由y=f（x）的图象易得当x0或x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间
7、（，0）和（2，+）上单调递增；当0x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减8. 由 “正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面三角形 ( )A内任一点 B某高线上的点 C中心 D外的某点参考答案：C略9. 设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为( )A8B7C2D1参考答案：B【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大
8、值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+22=7，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法10. 如图，程序框图所进行的求和运算是 ( ) A. B. C. D. 参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知满足约束条件，则的最小值是 参考答案：12. 若函数f（x）=x3+x2+ax+1既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是参考答案：（，）【考点】利用导数研究函数的极
9、值【分析】先求导函数，根据函数在区间（，+）内既有极大值，又有极小值，故导函数为0的方程有不等的实数根，可求实数a的取值范围【解答】解：求导函数：f（x）=3x2+2x+a，函数f（x）既有极大值又有极小值，=412a0，a，故答案为：（，）13. 已知是双曲线的左焦点，定点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为 参考答案：914. 计算（是虚数单位） 参考答案：略15. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，且上的两点关于直线对称，并且，那么_参考答案：16. 已知双曲线y2=1（a0）的一条渐近线为x+y=0，则a=参考答案：【考点】双曲线的简单性质【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=，结合条件
10、可得=，即可得到a的值【解答】解：双曲线y2=1的渐近线方程为y=，由题意可得=，解得a=故答案为：17. 如图是边长为的为正方形的对角线，将绕直线旋转一周后形成的几何体的体积等于 。参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（1）求曲线C1的方程；（2）设P(x0,y0)（y03）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=4上运动时，四点
11、A，B，C，D的纵坐标之积为定值.参考答案：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.（2）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是整理得 设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根，故 由得 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以 同理可得 于是由，三式得.所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.19. (本题满分12分)已知直线与椭圆相交于、两点 （1）若椭圆的离心率为，焦
12、距为，求线段的长；（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值参考答案：（1），2=2，即则椭圆的方程为， 2分将代入消去得： 设 5分（2）设，即 6分由，消去得：由，整理得：又， 8分由，得：，整理得： 9分代入上式得：， ，条件适合，由此得：，故长轴长的最大值为 12分20. 设数列的前项和为，且满足（）求，的值并写出其通项公式；（）用三段论证明数列是等比数列参考答案：解：（）由，得；，猜想 （）因为通项公式为的数列，若，是非零常数，则是等比数列；因为通项公式，又；所以通项公式的数列是等比数列略21. 参考答案：解：（）依题意有 -2分 由于 ，故 又，从而 -3分 （）由已知可得 故 从而 -12分22. （12分）已知是公比为的等比数列，且成等差数列. 求q的值；设是以2为首项，为公差的等差数列，其前项和为，当n2时，比较 与的大小，并说明理由.参考答案：解：（1）由题设 （2）若当 故若当故对于
