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1、湖南省常德市鼎城区黄土店镇联校2022年高二数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=（a1，nN*），在验证当n=1时，等式左边应为（）A 1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a3参考答案：C2. 在等差数列an中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（）A30B45C60D120参考答案：C【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等差数列的性质进行求解即可【解答】解：在等差数列an中，若m+n=p+q，则am+an=a
2、p+aq，a2+a4+a6+a8=（a2+a8）+（a4+a6）=2a5+2a5=4a5=415=60故选：C【点评】本题主要考查等差数列的性质，以及利用等差数列的性质进行计算，要求熟练掌握等差数列的性质：在等差数列an中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq3. 抛物线的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C). (D). 参考答案：D4. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. (1,2B. 4,+)C. (,2D. (0,3 参考答案：A【分析】在定义域内，由，得，利用，解不等式可得结果.【详解】，函数的定义域是（0，+），由，得函数在区间上单调递减，解得
3、即实数的取值范围是,故选A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.5. 已知x与y之间的一组数据：x1234y1357则y与x的线性回归方程=bx+a必过（ ）A.（2，3） B.（2.5，3.5） C.（3，5） D.（2.5，4）参考答案：D6. 由曲线，围城的封闭图形面积为 ( )A. B. C. D. 参
4、考答案：A略7. 若，则的大小关系为()A. B. C. D. 参考答案：C8. 已知方程x2+=0有两个不等实根a和b，那么过点A(a,a2)、B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是 （ ）A相交 B相切 C相离 D随值的变化而变化参考答案：解析: a+b=,ab=, lAB:y=(b+a)(x)+.圆心O(0,0)到其距离为d=1.故相切. 答案:B9. 曲线y=sinx(0x)与直线围成的封闭图形的面积是 （ ）A B. C. D.参考答案：S略10. 若函数至少有1个零点，则实数a的取值范围是A. B.0,1)C. D. 参考答案：C【分析】令，则函数至少有1个零点等价于函
5、数至少有1个零点，对函数求导，讨论和时，函数的单调性，以及最值的情况，即可求出满足题意的实数的取值范围。【详解】由题可得函数的定义域为；令，则，函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点；（1）当时，则在上恒成立，即函数在单调递增，当时，当时，由零点定理可得当时，函数在有且只有一个零点，满足题意；（2）当时，令，解得：，令，解得：，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，所以要使函数至少有1个零点，则，解得：综上所述：实数的取值范围是：故答案选C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点个数的问题，由导数研究函数的单调区间以及最值是解题的关键，属于中档题。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4
6、分,共28分11. 已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为_参考答案：略12. 不等式log2（x+6）log2（2x）的解集为参考答案：（6，2）【考点】指、对数不等式的解法【分析】由对数函数的单调性化对数不等式为一元一次不等式组求解【解答】解：由log2（x+6）log2（2x），得，解得6x2不等式log2（x+6）log2（2x）的解集为（6，2）故答案为：（6，2）13. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角的大小是_ 参考答案：014. 点P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，且，则F1PF2的周长为 ，F1PF2的面积为 参考答案：6，.【考点】椭圆的简单性质【分析】由
7、由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=4，F1PF2的周长为丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨=2a+2c=6，由丨PF1丨2+丨PF2丨2+2丨PF1丨?丨PF2丨=16，利用余弦定理可知：丨PF1丨2+丨PF2丨2+2丨PF1丨?丨PF2丨=4，即可求得丨PF1丨?丨PF2丨=4，F1PF2的面积S=丨PF1丨?丨PF2丨sin60；利用焦点三角形的面积公式S=b2=b2tan，即可求得F1PF2的面积【解答】解：由椭圆，a=2，b=，c=1，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=4，F1PF2的周长为丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨=2a+2c=6，F1PF2的
8、周长为6，方法一：将丨PF1丨+丨PF2丨=2a=4，两边平方，得丨PF1丨2+丨PF2丨2+2丨PF1丨?丨PF2丨=16，（1）在F1PF2中，由丨F1F2丨=2c，F1PF2=60，由余弦定理，得丨PF1丨2+丨PF2丨2+2丨PF1丨?丨PF2丨cos60=丨F1F2丨2=4即丨PF1丨2+丨PF2丨2+2丨PF1丨?丨PF2丨=4，（2）（1）（2），得：3丨PF1丨?丨PF2丨=12，丨PF1丨?丨PF2丨=4F1PF2的面积S=丨PF1丨?丨PF2丨sin60=4=，方法二：设F1PF2=，由焦点三角形的面积公式可知：S=b2=b2tan=3tan30=3=，故答案为：6，【点评
9、】本题考查椭圆的简单几何性质，焦点三角形的面积公式，余弦定理，考查计算能力，属于中档题15. 下列命题（为虚数单位）中正确的是已知，则ab是为纯虚数的充要条件；当z是非零实数时，恒成立；复数的实部和虚部都是2；如果，则实数a的取值范围是；复数，则其中正确的命题的序号是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）。参考答案：16. 设的内角所对边的长分别为.若，则则角_.参考答案： 17. 函数y的定义域为_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直
10、线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）（I）求椭圆C的方程；（）设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的
11、坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围【解答】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点设Q的坐标为（3c，0），因为AQAF2，所以b2=3cc=3c2，a2=4cc=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（c，0），半径为2c因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；（）设l的方程为y=kx+2（k0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=（x1m，y1）+（x2m，y2）=（x1+x22m，y1+y2）=（x1+x22m，k（x1+x2）+4）又=（x2x1，y2y1
12、）=（x2x1，k（x2x1）由于菱形对角线互相垂直，则（）?=0，所以（x2x1）（x1+x2）2m+k（x2x1）k（x1+x2）+4=0故（x2x1）（x1+x2）2m+k2（x1+x2）+4k=0因为k0，所以x2x10所以（x1+x2）2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k2m=0所以（1+k2）（）+4k2m=0解得m=，即因为k，可以使，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是）19. 过M（1，0）做抛物线C：y2=2px（p0）的两条切线，切点分别为A，B若（1）求抛物线C的方程；（2）N（t，0），（t1），过N任做一直线交抛物线C于P，Q两
13、点，当t也变化时，求|PQ|的最小值参考答案：【考点】抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系【分析】（1）?MA?MB=90，由抛物线的对称性可得：KMA=1，直线l的方程与抛物线方程联立化为：y22px+2p=0利用=0，即可得出p（2）设PQ的方程为：x=my+t，代入抛物线方程可得y24my4t=0，t10，设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1+y2=4my，y1y2=4t，即可得出【解答】解：（1）?MA?MB=90，由抛物线的对称性，KMA=1，y22px+2p=0，p=2y2=4x（2）设PQ的方程为：x=my+t，代入抛物线方程可得：y24my4t=0，t10，设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1+y2=4my，y1y2=4t，=，m=0时，（t1）20. 如图，在边长为3的菱形ABCD中，ABC=60，PA平面ABCD，且PA=3，E为PD中点，F在棱PA上，且AF=1（1）求证：CE平面BDF；（2）求点P到平面BDF的距离参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平
