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1、河北省张家口市郭磊庄中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）总周长为12m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为1：2，那么容器容积最大时，长方体的高为（）A 2mB1mC1.6mD3m参考答案：A2. 若定义在(-1,0)上的函数f(x)=log 2a (x+1)满足f(x)0,则a的取值范围是( ) a.(0, ) b.(0, ) c.( ,+) d.(0,+) 参考答案：A本题考查对数函数的基本性质. 当x(-1,0)时,有x+1(0,1),此时
2、要满足f(x)0,只要02a1即可. 由此解得0a .3. 已知命题p：任意xR，sinx1，则（）Ap：存在xR，sinx1Bp：任意xR，sinx1Cp：存在xR，sinx1Dp：任意xR，sinx1参考答案：C【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即存在xR，sinx1，故选：C4. 下列叙述错误的是()A. 若事件A发生的概率为,则B. 互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件C. 两个对立事件的概率之和为1D. 对于任意两个事件A和B,都有参考答案：D5. 已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、
3、B为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则AOB的面积为（）A8B4C2D参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出AOB的面积【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（，0），由抛物线的定义可知：|AF|=|AD|，|BC|=|BF|，过B做BEAD，由=3，则丨丨=丨丨，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，直线AB的倾斜角为60，直线AB的方程为y=（x）=x3，联立直线AB与
4、抛物线的方程可得：，整理得：3x210x+9=0，由韦达定理可知：x1+x2=，则丨AB丨=x1+x2+p=+2=，而原点到直线AB的距离为d=，则三角形AOB的面积S=?丨AB丨?d=?=4，当直线AB的倾斜角为120时，同理可求S=4，故选B【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的相交问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题6. 已知是等比数列，则 参考答案：C7. 如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在CB的延长线上，AE切圆于O于点A，若ABCD，AD=4，BE=2，则AE等于（）A36B6C24D2参考答案：B8. 已知函数()，如果（），那么的值是（ ）A5 B
5、3 C D 参考答案：C9. 已知为等差数列，+=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是( )A .21 B .20 C .19 D . 18 参考答案：B10. 设函数，其中表示不超过的最大整数,如，若有三个不同的根,则实数的取值范围是（ ）A B C D参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设平面的法向量为（1，2，2），平面的法向量为（2，4，k），若，则k= 参考答案：4【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系【分析】根据空间面面平行的判定与性质，可得两个平行平面的法向量互相平行，由此建立关于k的等式，解之即可得到实数k的值【解答】解：平
6、面、的法向量互相平行，由此可得=（1，2，2），=（2，4，k），=，解之得k=4故答案为：412. 已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为参考答案：x+2y8=0【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题【分析】设直线l的方程为 y2=k（x4），代入椭圆的方程化简，由 x1+x2=8 解得k值，即得直线l的方程【解答】解：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y2=k（x4），即 kxy+24k=0，代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k32k2）x+64k264k20=0，x1+x2=8，解得 k=，故直线l的方程为
7、 x+2y8=0，故答案为 x+2y8=0【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到（1+4k2）x2+（16k32k2）x+64k264k20=0，是解题的关键13. 设某几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积是 参考答案：3214. 用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，0.98，0.63，其中 （填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强参考答案：乙【考点】BH：两个变量的线性相关【分析】根据两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好，由此得出答案【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们
8、的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果就越好，在甲、乙、丙中，所给的数值中0.98是相关指数最大的值，即乙的拟合效果最好故答案为：乙15. 设函数为奇函数，则 参考答案：16. 已知命题：“，使”为真命题，则的取值范围是_参考答案：17. 每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗n次后，存在的污垢在1%以下，则n的最小值为_参考答案：4略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明当时，参考答案：（1）的增区间为(0,1)，减区间为；（2）见解析【分析】（1）求得，分别令，即可求得的增、减区
9、间。（2）求得，即可判断在上单调递减，利用（1）可得，令，利用导数可判断在上递减，结合，即可判断，从而可判断：存在唯一的，使得，结合在上的单调性及即可证得结论成立。【详解】函数的导数为，由，可得；由，可得即有的增区间为，减区间为；（2）证明：设，在上单调递减，而，由中单调性，可得：，记：，（）所以所以在上递减所以，所以，使得，即时，时，即在上单调递增，在上单调递减，又，可得，则，当时，成立【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，还考查了利用导数判断函数的零点存在性，考查了利用导数证明不等式恒成立知识，考查转化能力及计算能力，属于难题。19. 已知命题p：关于x的方程有两个不相等的负根.
10、 命题q：关于x的方程无实根，若为真，为假，求的取值范围参考答案：解：由有两个不相等的负根,则, 解之得即命题由无实根, 则, 解之得.即命题q: .为假，为真，则p与q一真一假.若p真q假, 则所以若p假q真, 则所以所以取值范围为.略20. 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为=2（cos+sin）（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系【分析】（1）将极坐标方程两边同乘，进而根据2=x2+y2
11、，x=cos，y=sin，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为=2（cos+sin）2=2cos+2sinx2+y2=2x+2y即（x1）2+（y1）2=2（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2t1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1t2|=21. （12分）动圆C与定圆C1：（x+3）2+y2=9，C2：（x-3）2+y2=1都外切，求动圆圆心C的轨迹方程。参考答案：22. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩
12、形，侧面PAD为正三角形，且平面PADABCD平面，E为PD中点，.（）求证：平面AEC平面PCD；（）若二面角的平面角大小满足，求四棱锥P-ABCD的体积.参考答案：（）证明见解析；（）.【详解】试题分析：（）由正三角形性质可得，再利用面面垂直的性质定理得平面，从而，则 ，由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得平面；（）建立空间直角坐标系，令，求出平面的法向量以及平面的法向量，根据二面角的平面角的余弦值列方程求出，利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（）取中点为，中点为，由侧面为正三角形，且平面平面知平面，故，又，则平面，所以，又，则，又中点，则，由线面垂直的判定定理知平面，又平面，故平面平面.（）如图所示，建立空间直角坐标系，令，则.由（）知为平面的法向量，令为平面的法向量，由于均与垂直，故即解得故，由 ，解得.故四棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
