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1、北京宣武区外国语实验学校高二数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，则向量与的夹角为 A. B.C. D.参考答案：A2. 若实数满足则的取值范围是 （ ） A. B. C. D.参考答案：B3. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 A B C D参考答案：B4. 已知函数在区间上的最大值为, 则等于( )A. B. C. D. 或参考答案：C略5. 在ABC中，a7，b4，c，则ABC的最小角为()A. B. C. D. 参考答案：D 6. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是
2、（ ）Ayx By Cy Dy参考答案：D略7. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C. 若，则D.若，则参考答案：D详解：A. 若， ，则，不正确，两直线有可能是相交的情况.B. 若，则,不正确，因为两直线有可能是异面的情况.C. 若， ，则,不正确，直线n可能和直线m斜交，不垂直，此时直线n和平面不垂直.D若，,根据面面垂直的判定定理得到，故命题正确.故答案为：D.8. 已知，且，i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限参考答案：D，且，故复数在复平面内所对应的点位于第四
3、象限.9. 某国企进行节能降耗技术改造，如表是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：年号x12345年生产利润y（单位：千万元）0.70.811.11.4预测第8年该国企的生产利润约为（ ）千万元（参考公式及数据：,）A. 1.88B. 2.21C. 1.85D. 2.34参考答案：C【分析】由所给数据求出，再求出线性回归方程，即可预测第8年该国企的生产利润。【详解】由所给数据可得，所以线性回归方程为 当时，故选C.【点睛】本题考查线性回归方程等知识，属于简单题。10. 设，若直线与线段AB没有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题
4、,每小题4分,共28分11. 已知辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在的汽车大约有_辆. 参考答案：80略12. 已知直线是曲线的切线，则实数k的值为 参考答案：e若，则，设曲线上点的坐标为，则切点处切线的斜率，此时切线方程为：，切线为，则切线过坐标原点，即：,解得：，则：.13. 点O在内部且满足，则的面积与凹四边形.的面积之比为_.参考答案：14. （不等式选讲）已知，则实数的取值范围为 。参考答案：15. 若方程+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是参考答案：（2，2）（3，+）【考点】双曲线的标准方程【分析】由已知得（|k|2）（3k）0，由此能求出实数k的
5、取值范围【解答】解：程+=1表示双曲线，（|k|2）（3k）0，解得k3或2k2，实数k的取值范围是（2，2）（3，+）故答案为：（2，2）（3，+）16. 已知二面角为120，且则CD的长为 参考答案：2略17. 已知数列的，则= 参考答案：100略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.65636.8289.81.6
6、1469108.8表中 ， =（）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为.根据（）的结果回答下列问题：()年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？()年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据,，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，参考答案：（）；（）；（）() 年销售量及年利润的预报值分别是576.6，66.32；() 时，年利润的预报值最大。【分析】（）由散点图结合函数性质，可以观察得出适宜；（）通过
7、换元法，由最小二乘法求出回归方程；（）()根据回归方程及题目条件，求值；()利用换元法，对二次函数求最值。【详解】（）由散点图结合函数性质，可知适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型。（）令，先建立关于的线性回归方程.由题知，所以关于的线性回归方程为，关于的线性回归方程为.（）()由（）知，当时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为.() 令，当即时，年利润的预报值最大.【点睛】本题主要考查学生的数学建模、数据分析、数学运算能力，能通过数据建立适当模型，结合换元法可用最小二乘法解决非线性回归模型问题。19. （本题满分12分）物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B
8、在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）参考答案：解：设A追上B时,所用的时间为(s) ，物体A和B在s后所走过的路程分别为和 2分依题意有: 4分www.ks5 高#考#资#源#网即 6分 8分解得=5 (s) 9分所以 (m) 10分答：相遇时，物体A走过的路程是130m。 12分略20. 在平面直角坐标系xOy中，直线，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.设直线l与曲线C交于M，N两点，M点在N点的下方.（）当时，求M，N两点的直角坐标；（）当k变化时，求线段MN
9、中点P的轨迹的极坐标方程.参考答案：（），；（）.【分析】（）根据题意，可将直线与曲线C联立求得，两点的直角坐标；（II）（解法一）当变化时，于是可知点的轨迹为圆，从而得到其轨迹方程；（解法二）设，可用相关点法表示出的坐标，代入，于是得到轨迹方程.【详解】解：（）当时，直线，曲线的普通方程为：，由解得或，点在点的下方，所以，两点的直角坐标为：，.（II）（解法一）当变化时，所以点的轨迹是以为直径的圆（点除外），因为曲线是圆心为的圆，则以为直径的圆的圆心坐标，半径为2.所以点轨迹的直角坐标方程为，所以点轨迹的极坐标方程为.（解法二）设，因为点是线段中点，是极点，所以点的坐标为，代入中，得，因为，
10、不重合，所以，所以点轨迹的极坐标方程为.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程.意在考查学生的转化能力，计算能力，逻辑推理能力，难度中等.21. （本小题满分12分）设为等比数列，为其前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.参考答案：（1）， 对于令可得，解得 （2） -得 22. （本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（）证明；平面BED（）求二面角A1-DE-B的大小参考答案：解法一：依题设，（）连结AC交BD于点F，则BDAC。由在三垂线定理知，BDA1C 3分在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G，由于故互余。于是A1CEF。A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直，所以A1C平面BED。6分解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系Dxyz.依题设，B（2，2，0，）C（0，2，0）E（0，2，1）A1（2，0，4）. = （0，2，1）= （2，2，0，）, =（2，2，4） =（2，0，4）3分（）因为 = =0，故又所以平面DBE.
