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1、福建省厦门市华侨中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称,且z1=2i,则复数在复平面内对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案:B【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由z1=2i,复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称,求出z2,然后代入,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数在复平面内对应的点的坐标,则答案可求【解答】解:z1=2i,复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称,z2=2i=,则复数在复平面内对
2、应的点的坐标为:(,),位于第二象限故选:B2. 直角ABC中,AD为斜边BC边的高,若|=1,|=3,则=()ABCD参考答案:A【分析】根据题意建立平面直角坐标系,写出A、B、C的坐标,利用BC的直线方程求出点D的坐标,再写出、,计算的值【解答】解:建立平面直角坐标系如图所示,A(0,0),B(3,0),C(0,1);则BC的直线方程为+y=1,设点D(m,n);则,解得m=,n=,D(,);=(3,0),=(,),=3+0()=故选:A【点评】本题考查了平面向量的数量积与运算问题,是基础题3. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( )A. B. 2C. D.
3、参考答案:B【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离,然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率.【详解】设圆心到直线的距离为,由弦长公式可得:,解得:,双曲线的渐近线方程为:,圆心坐标为,故:,即:,双曲线的离心率.故选:B.【点睛】本题主要考查圆的弦长公式,点到直线距离公式,双曲线离心率的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 函数的图象(A) 关于原点对称(B) 关于直线yx对称ks5u(C) 关于x轴对称(D) 关于y轴对称参考答案:D略5. 已知是双曲线的左右焦点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N ,且M,N均在第一象限,当直线MF1O
4、N时,双曲线的离心率为,若函数,则=( )A. 1 B. C. 2 D. 参考答案:C6. 集合,则 . . . .参考答案:B试题分析:根据题意可知,所以,所以,故选B.考点:集合的运算.7. 已知直线平面,直线平面,给出下列命题: 其中正确命题的序号是( )A B. C. D.参考答案:C8. 命题:,命题:;若是的充分而不必要条件,则的取值范围是 ( )A B C D参考答案:答案: 9. 在中,内角所对的边长分别是。若,则的形状为( )A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形参考答案:D10. 已知则abbcca的最小值为( ) B C. D. 参考答案
5、:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是的重心,且,则角的大小为 参考答案:略12. 已知直线与圆相切,则的值为_ _参考答案:8;-18略13. 已知,且,则的值为 参考答案:当时,所以,又,所以。14. 等比数列an的前n项和为Sn,若S2n3(a1a3a2n1),a1a2a38,则a10等于_参考答案:51215. 如果的展开式中含有非零常数项,则正整数的最小值为_参考答案:516. 已知i为虚数单位,那么(1+2i)2等于 参考答案:3+4i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的乘法运算化简(1+2i)2即可【解答】解:(1+2i)2=1+4i+4i
6、2=3+4i,故答案为:3+4i17. 如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得BCD=15,BDC=30,CD=30m,并在C测得塔顶A的仰角为60,则塔的高度为 参考答案:15m【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题;转化思想;综合法;解三角形【分析】先根据三角形内角和为180,求得CBD,再根据正弦定理求得BC,进而在RtABC中,根据AB=BCtanACB求得AB【解答】解:在BCD中,CBD=1801530=135由正弦定理得,所以BC=15在RtABC中,AB=BCtanACB=15=15故答案为:15m【点评】本题考查了解三角形的实际应
7、用,考查学生的计算能力,属于基础题三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,). 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系(且两种坐标系取相同的长度单位),曲线C的极坐标方程为 ()求曲线C的直角坐标方程; ()设直线l与曲线C相交于A、B两点,若16,求角的取值范围参考答案:(1),(2分)即. 故曲线C的直角坐标方程为. (4分)(2)将直线的参数方程代入曲线C中得 ,由题意,(6分),(7分),且,又, 角的取值范围为或. (10分)19. 为了调查观众对电视剧风筝的喜爱程度,某电视台举
8、办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中,各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查(满分100分),被抽取的观众的评分结果如图所示()计算:甲地被抽取的观众评分的中位数;乙地被抽取的观众评分的极差;()用频率估计概率,若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查,记抽取的4人评分不低于90分的人数为X,求X的分布列与期望;()从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人,在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下,求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.参考答案:()由茎叶图可知,甲地被抽取的观众评分的中位数是83,乙地被抽取的观众评分的极差是()记“从乙地抽取1人进行评分调查,
9、其评分不低于90分”为事件,则随机变量的所有可能取值为,且所以,所以的分布列为01234()由茎叶图可得,甲地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分,乙地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分,设事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人,两人中至少一人评分不低于90分”,事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人,乙地观众评分低于90分”,所以 根据条件概率公式,得.所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下,乙地被抽取的观众评分低于90分的概率为.20. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1a3)元的管理费,预计当每件
10、商品的售价为x(7x9)元时,一年的销售量为(10x)2万件()求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);()当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值参考答案:【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数模型的选择与应用【分析】()根据条件建立利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);()利用导数求利润函数的最值即可【解答】解:()由题得该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)=(x4a)(10x)2,x7,9()求函数的导数L(x)=(10x)22(x4a)(10x)=(10x)(18+2a3x)
11、,令L(x)=0,得或x=10,1a3,当,即时,x7,9时,L(x)0,L(x)在x7,9上单调递减,故L(x)max=L(7)=279a当,即时,时,L(x)0;时,L(x)0,L(x)在上单调递增;在上单调递减,故答:当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为279a万元;当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为万元【点评】本题主要考查函数的应用问题,利用导数解决生活中的优化问题,考查学生应用能力21. (12分)定义在D上的函数f(x),如果满足:?xD,?常数M0,都有|f(x)|M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数的上界(1)
12、试判断函数f(x)=x3+在,3上是否是有界函数?(2)若某质点的运动方程为S(t)=+a(t+1)2,要使对t0,+)上的每一时刻的瞬时速度S(t)是以M=1为上界的有界函数,求实数a的值参考答案:考点:利用导数求闭区间上函数的最值;导数的运算专题:导数的综合应用分析:(1)利用导数研究函数f(x)的单调性极值与最值即可得出(2)由|S(t)|1,可得11分离参数可得,再利用导数分别研究左右两边的函数即可得出解答:解:(1)令f(x)=0,x,3,解得x=1,当x,1时,f(x)0;当x(1,3时,f(x)0f(x)在,3上的最小值为f(1)=4,又f()=,f(3)=28当x,3时,f(1
13、)f(x)f(3),即 4f(x)28存在常数M=28等使得?x,3,都有|f(x)|0M成立故函数函数f(x)=x3+在,3上是有界函数(2)S(t)=由|S(t)|1,得,11,令g(t)=,显然g(t)在0,+)上单调递减,且当t+时,g(x)0a0令=m(0,1,h(m)=m3m,h(m)=3m21=0,解得,当m时,函数h(m)单调递增,h(m)h(1)=0,则当m=1即t=0时,h(m)max=h(1)=0,a0综上可得a=0点评:本题考查了利用导数研究函数f(x)的单调性极值与最值、“有界函数”,考查了推理能力与计算能力,属于难题22. (本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形是矩形,四边形是梯形,平面/,.()求证:/平面;(