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1、福建省福州市东洋中学2022年高二数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，且底面边长和侧棱长都是，则经过底面一边及相对侧棱的一个端点的截面面积为（） 参考答案：A2. 如果复数在复平面内的对应点在第二象限，则 A. B.C. D.参考答案：D3. 将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是 ( )参考答案：B略4. 二项式的展开式中x的系数为（）A5B10C20D40参考答案：B【考点】DC：二项式定理的应用【分析】先求出二项式的展开式
2、的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数【解答】解：二项式的展开式的通项为Tr+1=C5rx2（5r）?xr=C5rx103r；令103r=1解得r=3二项式的展开式中x的系数为C53=10故选B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，重点考查二项式展开式的通项公式，属于基础题5. 在中，“”是“”的 A充分非必要条件B必要非充分条件 C充分必要条件D既非充分也非必要条件 参考答案：A6. 已知函数在处的导数为1，则等于A. 3 B. C. D. 参考答案：B略7. 下列说法不正确的是（）A若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B命题“?xR，x2x10”的否定是“?xR，x
3、2x10”C设A，B是两个集合，则“A?B”是“AB=A”的充分不必要条件D当a0时，幂函数y=xa在（0，+）上单调递减参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的性质【分析】逐项判断即可【解答】解：A、p且q为假，根据复合命题的判断方法知，p，q至少有一个为假，故A正确；B、根据特称命题的否定形式知B正确；C、当A?B可得AB=A，反之，当AB=A时，也可推出A?B，所以“A?B”是“AB=A”的充要条件，故C错误；D、由幂函数的性质易知D正确故选C8. 盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出
4、一个小球，其号码为偶数的概率是（）ABCD 参考答案：B考点：古典概型及其概率计算公式 专题：计算题分析：从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种，由古典概型的概率公式可得答案解答：解：从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种由古典概型的概率公式可得：其号码为偶数的概率是故选B点评：本题考查古典概型的求解，数准事件数是解决问题的关键，属基础题9. “x3”是“x29”的（A）充分而不必要的条件 （B）必要而不充分的条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A10. 已知过曲线（为参数，且）上一点P和原点O的直线P
5、O的倾斜角为，则点P的坐标是（ ）A B C. D参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a0，x，y满足 若z=2x+y的最小值为1，则a= 参考答案：考点：简单线性规划 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：由题意得a0，作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=2a时z取得最小值，由此建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值解答：解：由题意可得：若可行域不是空集，则直线y=a（x3）的斜率为正数时因此a0，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，2），B
6、（1，2a），C（3，0）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值z最小值=F（1，2a）=1，即22a=1，解得a=故答案为：点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数的最小值情况下求参数a的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题12. 已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为_；此时点的坐标为_参考答案：；.解：由抛物线定义，到到焦点的距离等于它到准线的距离，设点到准线的距离为，则所求的最小值，即为的最小值，当、三点共线时，最小，最小值为到
7、准线的距离此时最小值为，的纵坐标为，代入抛物线中，解出的横坐标为，得13. _参考答案：略14. 已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是 . 参考答案：15. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=2处取得极值，并且它的图象与直线y=3x+3在点（1，0）处相切，则函数f（x）的表达式为参考答案：f（x）=x3+x28x+6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件【分析】求出f（x），由函数在x=2处取得极值得到f（2）=0，又函数与直线在点 （1，0 ）处相切，f（1）=3，联立两个关于a、b的二元一次方程，求出a和b，又由函数过点（1，0），代入求出
8、c的值，则函数f（x）的表达式可求【解答】解：f（x）=3x2+2ax+b，f（2）=3（2）2+2a（2）+b=0，化简得：124a+b=0 又f（1）=3+2a+b=3 联立得：a=1，b=8又f（x）过点（1，0）13+a12+b1+c=0，c=6f（x）=x3+x28x+6故答案为：f（x）=x3+x28x+616. 正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN = .参考答案：17. 若函数,且,则实数的取值范围为_参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在直角梯形PBCD中
9、，A为PD的中点，如图将PAB沿AB折到SAB的位置，使SBBC，点E在SD上，且，如图（）求证：SA平面ABCD；（）求二面角EACD的正切值参考答案：【分析】（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SAAB，易证BCSA，由根据直线与平面垂直的判定定理可得SA平面ABCD；（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EOSA，所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，EHO为二面角EACD的平面角，在RtAHO中求解即可（法二：空间向量法）（1）同法一（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可【解答】解法一：（1
10、）证明：在题平面图形中，由题意可知，BAPD，ABCD为正方形，所以在翻折后的图中，SAAB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为SBBC，ABBC，SBAB=B所以BC平面SAB，又SA?平面SAB，所以BCSA，又SAAB，BCAB=B所以SA平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO因为，所以EOSA因为SA平面ABCD，所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，则AC平面EOH，所以ACEH所以EHO为二面角EACD的平面角，在RtAHO中，即二面角EACD的正切值为解法二：（1）同方法一（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B
11、（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）平面ACD的法向为设平面EAC的法向量为=（x，y，z），由，所以，可取所以=（2，2，1）所以所以即二面角EACD的正切值为19. （本题满分14分）已知三棱锥ABCD及其三视图如图所示（1）求三棱锥ABCD的体积与点D到平面ABC的距离；（2）求二面角 B-AC-D的正弦值参考答案：解：(1) 由三视图可得ABC为直角三角形，DBC为直角，AD面DBC,DB=BC=1,AD=2.2分作DEAB于点EAD面DBC，ADBCDBC为直角 BC面ADBBCDEDE面ABC3分DE的长为点D到面ABC的距离4分DB=1
12、,AD=2 DE= 点D到平面ABC的距离为 5分, 7分(2) 作DFAC于点F,连结EF，DE面ABC DEAC AC面DEF ACEF DFE是二面角 B-AC-D的平面角 ks5u10分DB=BC=1 DC= DF= sinDFE= 二面角 B-AC-D的正弦值是14分略20. 已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足bn=，设数列bn的前n项和为Tn，若?nN*，不等式Tnna0恒成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）由得，故，可得=+1，利用等差数列的通项公式与数列递推关系即可得出（II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出【解答】解：（）由得，故，an0，Sn0，=+1，数列是首项为，公差为1的等差数列，当n2时，a1=1，又a1=1适合上式，an=2n1（）将an=2n1代入，Tnna0，nN+，2n+13， ，21. (本题满分12分) 已知函数在点处的切线方程为.（1）求函数的单调递减区间；（2）当ABC时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1） 3分 令 则减区间为（-3，1） 6分 （2）由题得 即可 8分令 由导数得g（x）在（-1，-）递减；在（-，+）递增 .10分11分
