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1、湖南省衡阳市富贵中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，且PC=PD=CD=2，BC=2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为（）ABCD参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角【分析】连接BD，OB，PB，则OMBD，PDB或其补角为异面直线OM与PD所成角，PBD中，由余弦定理可得cosPDB【解答】解：连接BD，OB，PB，则OMBD，PDB或其补角为异面直线OM与PD所成角由条件PO平面ABCD，则OB=3，P
2、O=，BD=2，PB=2，PBD中，由余弦定理可得cosPDB=，故选：C2. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，则当 时，的表达式为 A B C D 参考答案：C3. 若= ，是第三象限的角，则= ( )（A）- （B） （C） （D）参考答案：A4. 如图，平面四边形中, ,将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为( )A B C D参考答案：5. 某林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会对树苗进行检测。现从甲、乙两种树苗中各抽取10株，测量其高度，所得数据如茎叶图所示，则下列描述正确的是（ ）（A）甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，且甲树苗
3、比乙树苗长得整齐（B）甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，但乙树苗比甲树苗长得整齐 （C）乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，但甲树苗比乙树苗长得整齐 （D）乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，且乙树苗比甲树苗长得整齐9参考答案：C略6. 已知函数有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 A B（0，1） C D参考答案：A7. 曲线在点处的切线方程为（ ）A B C D参考答案：【知识点】导数与切线.B11【答案解析】B 解析：解：由题意可知过点，在点处的导数为3，所以切线方程为，所以B正确.【思路点拨】根据函数的导数，可求出函数在该点处的切线斜率，再列出切线方程.8. 已知s
4、in，则cos的值等于( )A B C. D.参考答案：B略9. 对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则的值为（ ）A2 B2 C3 D3参考答案：D分析：先化简 ，再运行程序得解.详解： = 因为4（-2），所以输出 故答案为：D10. 已知，为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C 较近的一个三等分点，则用、表示的表达式为（ ）A B C D参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则_.参考答案：512. 三个半径均为3且两两外切的球O1、O2、O3放在水平桌面上，现有球I放在桌面上与球O1、
5、O2、O3都外切，则球I的半径是_参考答案：1略13. 设且，若函数的反函数的图像经过定点，则点的坐标是_参考答案： 14. 执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于 参考答案：15. 函数的定义域为_.参考答案：0,+) 【分析】由函数有意义，得到，即可求解函数的定义域，得到答案.【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16. 己知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若A
6、BF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是参考答案：考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆的方程为，则容易求得A点的纵坐标为，根据已知条件便知|F1F2|=|AF1|，所以得到2c=，b2换上a2c2得到2ac=a2c2所以可得到，解关于的方程即得该椭圆的离心率解答：解：设椭圆的标准方程为，（ab0），焦点F1（c，0），F2（c，0），如图：将x=c带入椭圆方程得；解得y=；|F1F2|=|AF1|；2ac=a2c2两边同除以a2并整理得：；解得，或（舍去）；这个椭圆的离心率是故答案为：点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点及焦距，椭圆离心率的概念，b2=a2c2，
7、以及数形结合解题的方法，解一元二次方程17. 已知向量 ，若，则=_.参考答案：-10三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=exkx，xR（）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；（）若f（x）在区间0，2上单调递增，求实数k的取值范围参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）由k=e得f（x）=exex，所以f（x）=exe，讨论导数的正负，即可求出单调区间（）可得f（x）=exk0在0，2上恒成立，即kex，求出ex在0，2上的最小值即可【解答】解：（）由k=e得f（x
8、）=exex，所以f（x）=exe令 f（x）=0，解得x=1 x（，1）1（1，+）f（x）_0+f（x）单减单增故单调区间为在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增.当x=1时f（x）取得极小值为f（1）=0.（）若f（x）在区间0，2上单调递增，则有f（x）=exk0在0，2上恒成立，即kex，.而ex在0，2上的最小值为1，故k1.19. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1+cos2）=8sin（1）求曲线C的普通方程；（2）直线l的参数方程为,t为参数直线与y轴交于点F与曲线C的交点为A，B，当|FA|?|FB|取
9、最小值时，求直线的直角坐标方程参考答案：（1）x2=4y；（2）y=1【分析】（1）根据x=cos，y=sin将极坐标方程化为普通方程，（2）将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及参数几何意义求|FA|?|FB|，最后根据三角函数有界性确定最值，解得结果.【详解】（1）由题意得（1+cos2）=8sin，得2cos2=8sin，得2cos2=4sin，x=cos，y=sin，x2=4y，即曲线C的普通方程为x2=4y（2）由题意可知，直线与y轴交于点F（0，1）即为抛物线C的焦点，令|FA|=|t1|，|FB|=|t2|，将直线的参数方程代入C的普通方程x2=4y中，整理得t2cos2
10、-4tsin-4=0，由题意得cos0，根据韦达定理得：t1+t2=，t1t2=，|FA|FB|=|t1|t2|=|t1t2|=4，（当且仅当cos2=1时，等号成立），当|FA|?|FB|取得最小值时，直线的直角坐标方程为y=1【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线参数方程，考查综合分析求解能力，属中档题.20. （10分）选修45：不等式选讲设函数。（)画出函数的图像；（）若不等式的解集非空，求的取值范围。参考答案：解：（1）由于，则函数的图像如图所示。（2）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。故不等式的解集非空时，的取值范围为。21. (本题满分14
11、分) 在直角坐标系xOy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：(0)（1）求的值；（2）若点P，Q分别是角始边、终边上的动点，且PQ=4，求POQ面积最大时，点P， Q的坐标参考答案：(1)由射线的方程为，可得，2分故 4分(2)设 在中，因为， 6分即，所以4 8分所以当且仅当，即取得等号10分所以面积最大时，点的坐标分别为14分略22. 在四棱锥中， ，点是线段上的一点，且，（1）证明：面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值参考答案：解：（1）由，得，又因为，且，所以面， 且面所以，面面。 （2）过点作，连结，因为，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线与平面所成角 在四棱锥中，设，则，从而，即直线与平面所成角的正弦值为略
