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1、山西省长治市民办中学2022年高二数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对任意实数，在下列命题中，真命题是（ ）A是的必要条件 B是的必要条件C是的充分条件 D是的充分条件参考答案：B2. 设全集，集合，则的值为（ ）A B C D参考答案：C3. 在三角形中有如下性质：任意两边之和大于第三边；中位线长等于底边长的一半；若内切圆半径为r，周长为l，则面积S=lr； 三角形都有外接圆将其类比到空间则有：四面体中，任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；过同一顶点的三条棱中点的截面面积是第四个面面积的；若内
2、切球半径为R，表面积为s，则体积V=sR四面体都有外接球其中正确的类比结果是（）ABCD参考答案：D【考点】F3：类比推理【分析】由二维到三维的类比推理要注意点的性质往往推广为线的性质，线的性质往往推广为面的性质【解答】解：将其类比到空间则有：四面体中，在四面体ABCD中，设点A在底面上的射影为O，则三个侧面的面积都大于在底面上的投影的面积，故三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，所以任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，正确；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质，可得过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的，正确；利用分割法，若内切球半径为R，表面积为s
3、，则体积V=sR，正确；四面体都有外接球，正确故选：D【点评】本题考查类比推理，体现了数形结合的数学思想，比较基础4. 某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是（ ）A. 参与奖总费用最高B. 三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍C. 购买奖品的费用的平均数为9.25元D. 购买奖品的费用的中位数为2元参考答案：D【分析】先计算参与奖的百分比，分别计算各个奖励的数学期望，中位数，逐一判断每个选项得到答案.【详解】参与奖的百分比为：设人数为单位1一等
4、奖费用： 二等奖费用： 三等奖费用： 参与奖费用： 购买奖品的费用的平均数为： 参与奖的百分比为，故购买奖品的费用的中位数为2元故答案选D【点睛】本题考查了平均值，中位数的计算，意在考查学生的应用能力.5. 如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A B C D 参考答案：A略6. 已知椭圆a 2 x 2 y 2 = 1的焦距是4，则a =（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：C7. 已知是抛物线上的两个动点且，则中点到直线距离的最小值是（ ）A8 B9 C10 D7参考答案：B8. 已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则
5、该椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD参考答案：B【考点】椭圆的简单性质【分析】解设点P（x，y），由PF1PF2，得x2+y2=c2，与椭圆方程式联立方程组，能求出该椭圆的离心率的取值范围【解答】解：F1，F2是椭圆的左右两个焦点，离心率0e1，F1（c，0），F2（c，0），c2=a2b2，设点P（x，y），由PF1PF2，得（xc，y）?（x+c，y）=0，化简得x2+y2=c2，联立方程组，整理，得x2=，解得e，又0e1，e1故选：B9. 现有A、B、C、D、E五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A. 120种B.
6、5种C. 种D. 种参考答案：D【分析】先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.【详解】A同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择.同理BCDE四位同学也各有3种选择,乘法原理得到答案为D【点睛】本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.10. 下列求导数运算正确的是（ ）Ks5u A. B. C. D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等差数列an中，若a3+a7=16,则a5=_;参考答案：8略12. 等轴双曲线的渐近线方程为 参考答案：略13. 在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是参考答案：
7、（4，10【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a26，i=3，满足退出循环的条件；故9a882，且27a2682，解得：a（4，10，故答案为：（4，1014. 双曲线的中心在坐标原点，离心率等于， 一个焦点的坐标为，则此双曲线的方程是 参考答案：略15. 若过点A（a，a）可作圆x2+y22ax+a2
8、+2a3=0的两条切线，则实数a的取值范围是 参考答案：（，3）（1，）【考点】点与圆的位置关系 【专题】计算题【分析】把已知圆的方程化为标准方程，找出圆心P的坐标和圆的半径r，并根据二元二次方程构成圆的条件可得a的范围，利用两点间的距离公式求出|AP|的值，由过A可作圆的两条切线，得到点A在圆P外，可得|AP|的值大于圆的半径r，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，与求出的a的范围求出并集，可得满足题意a的取值范围【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（xa）2+y2=32a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且32a0，即a，由题意可得点A在圆外，即|AP|=r=，即有a232a，整
9、理得：a2+2a30，即（a+3）（a1）0，解得：a3或a1，又a，可得a3或 ，则实数a的取值范围是（，3）（1，）故答案为：（，3）（1，）【点评】此题考查了点与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，二元二次方程构成圆的条件，以及不等式的解法，点与圆的位置关系由这点到圆心的距离d与半径r的大小关系来确定：当d=r，点在圆上；dr，点在圆外；dr，点在圆内16. 若x0,y0,且2x+3y=6,则log2x+log2y的最大值是_.参考答案：17. 函数的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或
10、演算步骤18. 如图，在五棱锥中，底面,SC=,（）证明平面；（求与面所成的角的正弦值； 参考答案：略19. （12分）复数，。（1）为何值时，是纯虚数？（2）取什么值时，在复平面内对应的点位于第四象限？（3）若（）的展开式第3项系数为40，求此时的值及对应的复数的值。参考答案：解：（1）且时，即时，是纯虚数。（4分） （2）解得，此时在复平面内对应的点位于第四象限。（8分）（3）的展开式第3项系数为,化简得，或（负，舍去）。ks5u此时。 （12分）略20. （本小题满分12分）若aR，解关于x的不等式.参考答案：（1）当a时，解集为：x|x； （2）当a时，解集为：x|xa或x1a； （3
11、）当a1a或xa.21. 已知是正方形，面,且，是侧棱的中点.（1）求证平面；（2）求证平面平面；（3）求直线与底面所成的角的正切值.参考答案：解：（） ， 又（），又，（）即直线与平面所成角略22. 已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，AB=AD=1，BC=2，又PB平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且BEPD（）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（）求证：BE平面PCD；（）求二面角APDB的大小参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）由于直线PA与CD不在同一平面内，要把两条异面直线移到同一平面内，做AFCD，异面
12、直线PA与CD所成的角与AF与PA所成的角相等（）证明CD平面PDB，可得CDBE，结合BEPD即可得证（）连接AF，交BD于点O，则AOBD过点O作OHPD于点H，连接AH，则AHPD，则AHO为二面角APDB的平面角【解答】（）解：取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CFAD，四边形ADCF是平行四边形，AFCD，PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角PB平面ABCD，PBBA，PBBFPB=AB=BF=1，ABBC，PA=PF=AF=PAF是正三角形，PAF=60即异面直线PA与CD所成的角等于60（）证明：由（）知，CF=BF=DF，CDB=90CDBD又PB平面PBD，PBCD、PBBD=B，CD平面PBD，CDBECDPD=D，BEPDBE平面PCD；（）解：连接AF，交BD于点O，则AOBD、PB平面ABCD，平面PBD平面ABD，AO平面PBD、过点O作OHPD于点H，连接AH，则AHPD、AHO为二面角APDB的平面角在RtABD中，AO=在RtPAD中，AH=在RtAOH中，sinAHO=AHO=60即二面角APDB的大小为60【点评】此题主要考查异面直线的角度、二面角的平面角的计算，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
