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1、四川省绵阳市金峰中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 点P(a,3)到直线4x3y+1=0的距离等于4,则P点的坐标是()A(7,3)B(3,3)C(7,3)或(3,3)D(7,3)或(3,3)参考答案:C【考点】点到直线的距离公式【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆【分析】由已知条件利用点到直线距离公式能求出结果【解答】解:点P(a,3)到直线4x3y+1=0的距离等于4,=4,解得a=7,或a=3,P(7,3)或P(3,3)故选:C【点评】本题考查点的坐标的求法,
2、是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用2. 的展开式中的系数是( )A. 56B. 84C. 112D. 168参考答案:D因为的展开式中的系数为,的展开式中的系数为,所以的系数为.故选D.【考点定位】二项式定理3. 已知cos=,cos()=,且0,那么=()ABCD参考答案:C【考点】GP:两角和与差的余弦函数【分析】由和的范围,求出的范围,然后由cos和cos()的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sin和sin()的值,然后由=()+,利用两角和的余弦函数公式化简后,根据特殊角的三角函数值即可求出的度数【解答】解:由0,得到0,又cos=,cos()=cos()
3、=,所以sin=,sin()=sin()=,则cos=cos()+=cos()cossin()sin=()=,所以=故选:C4. 已知双曲线C:(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()Ay=By=Cy=xDy=参考答案:D【考点】双曲线的简单性质【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=x,代入可得答案【解答】解:由双曲线C:(a0,b0),则离心率e=,即4b2=a2,故渐近线方程为y=x=x,故选:D5. 用一个平面截正方体和正四面体,给出下列结论:正方体的截面不可能是直角三角形;正四面体的截面不可能是直角三角形;正方体的截面可能是直角梯形;若正四面体的截面
4、是梯形,则一定是等腰梯形其中,所有正确结论的序号是()ABCD参考答案:D【考点】平行投影及平行投影作图法;棱锥的结构特征【分析】利用正方体和正四面体的性质,分析4个选项,即可得出结论【解答】解:正方体的截面是三角形时,为锐角三角形,正确;正四面体的截面不可能是直角三角形,不正确;正方体的截面与一组平行的对面相交,截面是等腰梯形,不正确;若正四面体的截面是梯形,则一定是等腰梯形,正确故选D【点评】本题考查空间线面位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题6. 设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有
5、4条,则r的取值范围是()A(1,3)B(1,4)C(2,3)D(2,4)参考答案:D【考点】抛物线的简单性质;直线与圆的位置关系【专题】综合题;创新题型;开放型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得y=2,所以交点与圆心(5,0)的距离为4,即可得出结论【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),斜率存在时,设斜率为k,则y12=4x1,y22=4x2,则,相减,得(y1+y2)(y1y2)=4(x1x2),当l的斜率存在时,利用点差法可得ky0=2,因为直线与圆相切,所以=,所以x0=3,即M的轨迹是直线x=3将
6、x=3代入y2=4x,得y2=12,M在圆上,r2=,直线l恰有4条,y00,4r216,故2r4时,直线l有2条;斜率不存在时,直线l有2条;所以直线l恰有4条,2r4,故选:D【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题7. 已知,则的取值范围是( ) A B C D 参考答案:A略8. 空间四边形OABC中,OBOC,AOBAOC,则等于( )A. B. C D0参考答案:D9. 在区间,2上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在,2上的最大值是( )A B C8 D4参考答案:D略10.
7、 命题”若,则”的逆否命题是( )A.若,则x1或x1 B. 若,则C.若x1或x1,则 D. 若x1或x1,则参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数z满足,则的值为 .参考答案:10设,则,解得,12. 如右图M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm参考答案:13. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于 参考答案:4【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,一条侧棱垂直底面,根据公式可求体积【解答】解:由三视图复原几何体,如图,
8、它的底面是直角梯形,一条侧棱垂直底面高为2,这个几何体的体积:故答案为4【点评】本题考查三视图、棱锥的体积;考查简单几何体的三视图的运用;培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力14. 函数g(x)ax32(1a)x23ax (a0) 在区间(-,)内单调递减,则a的取值范围是 参考答案:(,115. 从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为_.参考答案:96【分析】根据题意,分2种情况讨论选出参加竞赛的4人,选出的4人没有甲;选出的4人有甲;分别求出每一种情况下分选法数目,由分类计数原理计算可得答案【详解】根据题意,从5名学生
9、中选出4人分别参加竞赛,分2种情况讨论:选出的4人没有甲,即选出其他4人即可,有种情况;选出的4人有甲,由于甲不能参加生物竞赛,则甲有3种选法,在剩余4人中任选3人,参加剩下的三科竞赛,有,则此时共有种选法;综上,总共有种不同的参赛方案;答案选D【点睛】本题考查分类计数原理,属于基础题16. 已知集合Pa,b,Q=1,0,1,则从集合P到集合Q的映射共有 种参考答案:9【考点】映射【分析】运用分步计数原理求解【解答】解:集合P中的元素a在集合BQ中有3种不同的对应方式(1,0,1三选一),集合P中的元素b在集合Q中也有3种不同的对应方式(1,0,1三选一),根据“分步计数原理(乘法原理)”,集
10、合P到集合Q的映射共有N=33=9,故答案为9【点评】本题主要考查了映射的概念,以及两集合间构成映射个数的确定,可用列举法,也可用乘法计数原理,属于基础题17. 。 参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数,其中a为常数. (1)证明:函数的图象经过一个定点A,并求图象在A点处的切线方程; (2)若,求函数在上的值域.参考答案:(1)证明见解析,;(2)【分析】(1)将函数解析式重新整理,解得定点,再求导数,根据导数几何意义得切线斜率,最后根据点斜式得切线方程,(2)先解出,再利用导数求函数值域.【详解】(1)因为,所以,所以函
11、数的图像经过一个定点, 因为,所以切线的斜率,.所以在点处的切线方程为,即;(2)因为,所以,故,则,由得或, 当变化时,的变化情况如下表:1200单调减单调增从而在上有最小值,且最小值为, 因为,所以,因为在上单调减,所以,所以,所以最大值为,所以函数在上的值域为.【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域,考查综合分析求解能力,属中档题.19. (本小题满分12分)在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程参考答案:圆C 的圆心为直线与极轴的交点, 在 ),中令0,得1. -3分圆C的圆心坐标为(1,0) -5分圆C经过点, -8分圆C的半径为PC1. -1
12、0分圆C经过极点圆C的极坐标方程为2cos. -12分20. 椭圆C:,其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为,直线与椭圆交于,两点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作直线l的垂线,垂足为D.若,求点D的轨迹方程;(3)设直线OA,l,OB的斜率分别为,其中且.设的面积为S.以OA、OB为直径的圆的面积分别为,求的取值范围.参考答案:(1);(2);(3).【分析】(1)由题意知a2b,且,由此能求出椭圆方程(2)先考虑直线斜率存在时,设直线的方程为,和椭圆的方程联立,结合向量的垂直关系即可找到找m,k的关系式,从而求得再验证斜率不存在时也满足,则可得点的
13、轨迹方程.(3)设直线l的方程为ykx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出的取值范围【详解】(1)由题可知,且,解得:,故椭圆的方程为:.(2)当直线斜率存在时,设直线的方程为,由可得,由韦达定理有:且,即由韦达定理代入化简得:垂直直线, 当直线斜率不存在时,设:,易求,此时所以点的轨迹方程为.(3)设直线的方程为,由可得,由韦达定理有:且,即由韦达定理代入化简得:.,此时,即.故又为定值.当且仅当时等号成立.综上:.【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程,考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用,考查了函数思想,属于较难题2