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1、江苏省淮安市吕良中学高一数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若,则下列不等式成立的是 ABC D参考答案:C考点: 不等式的性质2. 函数y=2-sin2x是 ( )A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数C. 周期为2的奇函数D. 周期为2的偶函数参考答案:B【详解】,所以最小正周期为;又,所以函数是偶函数.故选:B.3. 等比数列中, 则的前4项和为( ) A 81 B120 C168 D192参考答案:B4. (3分)已知点A(1,3),B(2,1)若直线l:y=k(x2)+1与线段AB相交,则
2、k的取值范围是()AC(,2参考答案:D考点:直线的斜率 专题:直线与圆分析:由直线系方程求出直线l所过定点,由两点求斜率公式求得连接定点与线段AB上点的斜率的最小值和最大值得答案解答:直线l:y=k(x2)+1过点P(2,1),连接P与线段AB上的点A(1,3)时直线l的斜率最小,为,连接P与线段AB上的点B(2,1)时直线l的斜率最大,为k的取值范围是故选:D点评:本题考查了直线的斜率,考查了直线系方程,是基础题5. 函数的图像为C,则下列说法正确的个数是( )图像C关于直线对称;图像C关于点对称;函数在区间内是增函数;由函数的图像向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,
3、纵坐标不变,得到图像C.A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案:C【分析】验证当能否取得最值.验证是否为0,当时,验证的范围是否为增区间的子集.按照平移变换和伸缩变换进行验证.【详解】因为所以图象关于直线对称,正确.因为,所以图像关于点对称,正确.因为当时,所以函数在区间内增函数,正确.由函数的图像向右平移个单位长度,得到,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到,不正确.故选:C.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质及图象变换,还考查了理解辨析问题的能力,属于中档题.6. 如果,是平面内所有向量的一组基底,那么()A该平面内存在一向量不能表示,其中m,n为实数B若向量与
4、共线,则存在唯一实数使得C若实数m,n使得,则m=n=0D对平面中的某一向量,存在两对以上的实数m,n使得参考答案:C【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】A,根据平面向量的基本定理可判定;B,若向量=,则不存在;C,不共线,时,当且仅当m=n=0D,根据平面向量的基本定理可判定【解答】解:对于A,是平面内所有向量的一组基底,根据平面向量的基本定理可得该平面任一向量一定可以表示,其中m,n为实数,故A错;对于B,若向量=,则不存在;对于C,是平面内所有向量的一组基底,不共线,时,当且仅当m=n=0,故正确;对于D,根据平面向量的基本定理可得该平面任一向量一定可以表示,其中m,n为唯一实数对
5、,故错;故选:C7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与所成角的余弦值是( )A. B. C. D. 参考答案:C【分析】由与平行可知,即为所成角,在直角三角形中求解即可.【详解】如图:因为正方体中与平行,所以即为与所成角,设正方体棱长为,则,在中,故选C.【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角,属于中档题.8. 函数的最小值为( )A B C D参考答案:B 解析:令,则,对称轴, 是函数的递增区间,当时;9. 满足的集合的个数为( )A15 B16 C31 D32参考答案:C试题分析:实际上求真子集个数:,选C.考点:集合子集10. 若,则下列不等式成立的是 ( ) A. B. C.
6、 D.参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设:xm,:1x3,若是的必要条件,则实数m的取值范围是参考答案:(,1)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可【解答】解:xm,:1x3,若是的必要条件,则m1,故答案为:(,1)12. 已知,函数在区间上恰有9个零点,则的取值范围是_.参考答案:16,20)【分析】由奇偶性可得在上恰有4个零点,则,进而求得的范围即可【详解】在区间上恰有9个零点,等价于在上恰有4个零点,设的周期为T,则,即,所以,则,故的取值范围为,故答案为:【点睛】本题考查三角函
7、数周期性的应用,考查求的范围13. 在平面直角坐标系中,已知圆C: ,直线经过点若对任意的实数,直线被圆C截得的弦长都是定值,则直线的方程为_参考答案:14. 设为方程的根(),则_参考答案:解析:由题意,.由此可得,以及.15. 在平面直角坐标系xOy 中,角的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点,则_参考答案:-1【分析】根据三角函数的定义求得,再代入的展开式进行求值.【详解】角终边过点,终边在第三象限,根据三角函数的定义知:,【点睛】考查三角函数的定义及三角恒等变换,在变换过程中要注意符号的正负.16. 计算: , 参考答案:0,-217. 已知在中,分别为角A,B,C对应的边长
8、若则 . 参考答案: 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知二次函数的图象过点,且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式参考答案:解法一:二次函数的图象过点(3,0),(1,0),可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0),展开,得 yax22ax3a, 顶点的纵坐标为 ,由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,|4a|2,即a所以,二次函数的表达式为y,或y 解法二:二次函数的图象过点(3,0),(1,0),对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为2,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 顶点的纵坐标为2,或2于是可设二次函数为ya(
9、x1)22,或ya(x1)22,由于函数图象过点(1,0),0a(11)22,或0a(11)22a,或a所以,所求的二次函数为y(x1)22,或y(x1)22 19. 已知数列an的前n项和为Sn,且1,an,Sn成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足,求数列bn的前n项和Tn参考答案:(1);(2)【分析】(1)利用数列的递推关系式推出数列是以1为首项,2为公比的等比数列,然后求解通项公式 (2)化简数列的通项公式,利用分组求和法求和即可【详解】(1)由已知1,成等差数列得,当时,当时,得即,因,所以,数列是以1为首项,2为公比的等比数列,(2)由得,所以【点睛】数列求和
10、关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法;如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法;如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法;如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.20. (12分)已知空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,且E是CD的中点,F是BD的中点,(1)求证:BC平面AFE;(2)平面ABE平面ACD参考答案:考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定 专题:计算题;证明题分析:(1)由已知中E是CD的中点,F是BD的中点,根据三角形中位线定理,我们可得到FEBC,再由线面平行的判定定理,即可得到平面AFE;(
11、2)由已知中空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,且E是CD的中点,F是BD的中点,根据等腰三角形三线合一,我们易得到AEDC,BECD,结合线面垂直判定定理,可得CD平面AEB,结合面面垂直判定定理,即可得到平面ABE平面ACD解答:证明:(1)E,F分别是CD与BD的中点FEBCEF?平面AFE,BC?平面AFEBC平面AFE(6分)(2)AC=AD,BC=BD,且E是CD的中点,F是BD的中点AEDC,BECDEBEA=ECD平面AEBCD?平面ACD平面ABE平面ACD(12分)点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,熟练掌握平面与平面垂直的判定定理
12、及直线与平面平行的判定定理及证明思路,是解答本题的关键21. 已知数列an的首项为1,且,数列bn满足,对任意,都有.(1)求数列an、bn的通项公式;(2)令,数列an的前n项和为Sn.若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值范围.参考答案:(1), ;(2)试题分析:(1)由,得,又,两式相减得,整理得,即,又因为,利用累积法得,从而可求出数学的通项公式为;在数列中,由,得,且,所以数学是以首项为,公比为的等比数列,从而数列的通项公式为.(2)由题意得,两式相减得,由等比数列前项和公式可求得,由不等式恒成立,得恒成立,即()恒成立,构造函数(),当时,恒成立,则不满足条件;当时,由二次函数
13、性质知不恒成立;当时,恒成立,则满足条件综上所述,实数的取值范围是试题解析:(1),(),两式相减得,即(),又因为,从而(),故数列的通项公式()在数列中,由,知数列是等比数列,首项、公比均为,数列的通项公式(2)由-,得,不等式即为,即()恒成立方法一、设(),当时,恒成立,则不满足条件;当时,由二次函数性质知不恒成立;当时,恒成立,则满足条件综上所述,实数的取值范围是方法二、也即()恒成立,令则,由,单调递增且大于0,单调递增实数的取值范围是考点:1.等差数列、等比数列;2.不等式恒成立问题.22. 设关于的不等式的解集为,不等式的解集为.()当时,求集合;()若,求实数的取值范围.参考答案:()当时, 由已知得. 解得. 所以. () 由已知得. 当时, 因为,所以.因为,所以,解得 若时, ,显然有,