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1、湖北省荆门市钟祥市张集中学2022年高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A2x+y3=0B2xy3=0C4xy3=0D4x+y3=0参考答案：A【考点】J7：圆的切线方程；IG：直线的一般式方程【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为
2、（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足故选A2. 下列函数中，既是偶函数，又在（，0）上单调递减的函数是（）Ay=x2By=2|x|CDy=lg|x|参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】探究型；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】判断函数的奇偶性与函数的单调性即可得到结果【解答】解：y=x2，y=2|x|，y=lg|x|都是偶函数，但是y=lg|x|在（，0）上单调递减故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题3. 在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰
3、三角形”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，当时，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件，选A.4. 已知对数函数 f（x）=logax（a0，且a1）在区间2，4上的最大值与最小值之积为2，则a=（）AB或 2CD2参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质【分析】当0a1时，loga2?loga4=2（loga2）2=2，当a1时，loga2?loga4=2（loga2）2=2，由此能求出a的值【解答】解：对数函数 f（x）=loga
4、x（a0，且a1）在区间2，4上的最大值与最小值之积为2，当0a1时，loga2?loga4=2（loga2）2=2，loga2=1，当loga2=1时，a=2，（舍）；当loga2=1时，a=当a1时，loga2?loga4=2（loga2）2=2，loga2=1，当loga2=1时，a=2；当loga2=1时，a=（舍）综上，a的值为或2故选：B【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用5. 设复数满足，则 ()AB. C. D. 参考答案：A6. 已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，则球的体积与三棱
5、锥体积之比是( )AB2C3D4参考答案：D考点：球内接多面体 专题：作图题；综合题；压轴题分析：求出三棱锥的体积，再求出球的体积即可解答：解：如图，?AB=2r，ACB=90，BC=，V三棱锥=，V球=，V球：V三棱锥=点评：本题考查球的内接体的体积和球的体积的计算问题，是基础题7. “a=1”是“a 21=0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要参考答案：A若a=1，则 a 21=0成立，若a 21=0成立，则a=1或a=1，故若a 21=0，则a=1不成立，故“a=1”是“a 21=0”的充分不必要条件。8. 如图所示，已知椭圆方程为，A为椭圆的左顶
6、点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）ABCD参考答案：C知的方程为，与联立，解得，可得，那么，则，则，那么9. 已知实数满足，则的取值范围是A B C3，11 D1，11 参考答案：B试题分析:画可行域明确目标函数几何意义，目标函数=1+2?，表示动点P（x，y）与定点M（1，1）连线斜率k的2倍过M做直线与可行域相交可计算出直线PM斜率，从而得出所求目标函数范围详解：目标函数目标函目标函数=1+2?，表示动点P（x，y）与定点M（1，1）连线斜率k的两倍加1，由图可知，当点P在A（0，4）点处时，k 最大，最大值为：11；当点P在B（3，0）点处时，k
7、 最小，最小值为：；从而 的取值范围是，11故选：B 10. 在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】利用复数的除法运算法则，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可【详解】复数，复数对应点为（），在第二象限故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义，是基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若正数x，y满足，则的最小值是 参考答案：12. 若函数满足，且，则 _.参考答案：令，则，所以由得，即，即数列的公比为2.不设，则有，所以由，即，所以。13. 若正数a，b满足
8、a+b=1，则+的最大值是 参考答案：考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由于正数a，b满足a+b=1，可化为+=2，再利用即可得出解答：解：正数a，b满足a+b=1，+=2=当且仅当a=b=时取等号+的最大值是故答案为：点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题14. 设区域，若任取点，则关于x的方程有实根的概率为_参考答案：15. 若函数为偶函数，则_.参考答案：略16. 连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为_参考答案：517. 等差数列an的前项的和为Sn，若，则 _参考答案：6三、 解
9、答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若，且，求证：参考答案：（1）（2）见证明【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可;（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可解法二：（1）作出函数g（x）f（2x）f（x+1）利用数形结合转化求解即可;（2）利用综合法转化求解证明成立【详解】解法一：（1）因为，所以， 由得：或或 解得或或，所以不等式的解集为：.（2），又，所以要证成立，只需证成立， 即证，只需证成立， 因为，所以根据基本不等式成立，故命题得证解法二：（1）因为，所以 作
10、出函数的图像（如下图）因为直线和函数图像交点坐标为, . 所以不等式的解集为： （2），又，所以， 故所以成立【点睛】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等19. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（，为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（）求曲线C的极坐标方程；（）在曲线C上取两点M，N与原点O构成，且满足，求面积的最大值.参考答案：（1）由题意可知直线的直角坐标方程为，曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；可知曲线C的方程为， 所以曲
11、线C的极坐标方程为，即. (2)由（1）不妨设M（），（） . 当时, ，所以MON面积的最大值为. 20. (本小题满分16分) 已知：函数，在区间上有最大值4，最小值1，设函数 （1）求、的值及函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围； （3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围参考答案：解：（1），由题意得：得或 得（舍），4分（2）不等式，即，设，10分（3），即令，则 记方程的根为、，当时，原方程有三个相异实根，记，由题可知，或14分时满足题设16分21. （本小题满分12分） 某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了
12、解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：（I）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；（II）在北方工厂使用寿命不低于600小时的样本灯具中随机抽取两个灯具，求至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率。参考答案：（I）北方工厂灯具平均寿命：小时；南方工厂灯具平均寿命：小时. （）.试题分析：（I）直接根据频率分布直方图的平均数的计算公式分别求出北方工厂灯具和南方工厂灯具平均数，即为所求的结果；（）首先根据题意分别求出样本落在和的个数，然后将其分别编号，并列举出所抽取出的所有样本的种数，再求出至少有一个灯具
13、寿命在之间的个数，最后运用古典概型计算公式即可计算出所求的概率的大小.试题解析：（I）北方工厂灯具平均寿命：小时；南方工厂灯具平均寿命： 小时.（）由题意样本在的个数为3个，在的个数为2个；记灯具寿命在之间的样本为1,2,3；灯具寿命在之间的样本为，.则：所抽取样本有（1,2），（1,3），（1,），（1，），（2,3），（2，），（2，），（3，），（3，），（，），共10种情况，其中，至少有一个灯具寿命在之间的有7种情况，所以，所求概率为.考点：1、频率分布直方图；2、古典概型的概率计算公式；22. 已知数列中，（）记，求证：数列为等比数列；（）求数列的前项和参考答案：解：（）由，可知因为，所以，又，所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列（）由（）知，所以所以其中,记两式相减得所以略
