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1、湖南省娄底市冷水江教育局潘桥中学2022年高二数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 袋中装有红球3个、白球 2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A至少有一个白球；至少有一个红球 B至少有一个白球；红、黑球各一个C恰有一个白球；一个白球一个黑球 D至少有一个白球；都是白球参考答案：B袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,在A中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立;在B中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生
2、但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故B成立;在C中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故C不成立;在D中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不成立.故选B.2. 函数的定义域是 AB CD参考答案：A略3. 如图，半径为R的圆形纸板上有一内接正六边形图案，将一颗豆子随机地扔到平放的纸板上，假设豆子不落在线上，则豆子落在正六边形区域的概率是（）ABCD参考答案：B【考点】几何概型【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计【分析】求出半径为R的圆形纸板的面积与圆内接正六边形的面积，利用几何概型求出对应的概率【解答】解：半径为R的圆形纸
3、板的面积为R2，其圆内接正六边形的面积为：6R2sin60=R2，故所求的概率为：P=故选：B【点评】本题考查了几何概型的应用问题，也考查了圆内接正六边形的面积的计算问题，是基础题目4. 已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是( )。A2 B5 C6 D8参考答案：C略5. 设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数为 （ ）A. B. C. D.参考答案：D6. 若，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限参考答案：B7. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1，2
4、，3，4，5，6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）ABCD参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|ab|1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有66=36种猜字结果，其中满足|ab|1的有如下情形：若a=1，则b=1，2；若a=2，则b=1，2，3；若a=3，则b=2，3，4；若a=4，则b=3，4，5；若a=
5、5，则b=4，5，6；若a=6，则b=5，6，总共16种，他们“心有灵犀”的概率为故选D8. 在等差数列an中，则数列an的前n项和Sn的最大值为A. B. C. 或 D. 参考答案：A9. 设非零实数a、b，则“a2+b22ab”是“+2”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用基本不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：由a2+b22ab，则a，bR，当ab0时， +0，则+2不成立，即充分性不成立，若+2，则0，即ab0，则不等式等价为a2+b22ab，则a2+b
6、22ab成立，即必要性成立，故“a2+b22ab”是“+2”成立的必要不充分条件，故选：B10. 设椭圆的标准方程为，若其焦点在轴上，则的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式组的解集记为D，有下列四个命题： 其中真命题是_.参考答案：（1）（2）12. 若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为_。参考答案：14、3略13. 定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得f（x）g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数给出如下命题：函数g（x）=2
7、是函数f（x）=的一个承托函数；函数g（x）=x1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数；若函数g（x）=ax是函数f（x）=ex的一个承托函数，则a的取值范围是0，e；值域是R的函数f（x）不存在承托函数；其中，所有正确命题的序号是参考答案：【考点】命题的真假判断与应用【分析】，由f（x）=知，x0时，f（x）=lnx（，+），不满足f（x）g（x）=2对一切实数x都成立，可判断；，令t（x）=f（x）g（x），易证t（x）=x+sinx（x1）=sinx+10恒成立，可判断；，令h（x）=exax，通过对a=0，a0的讨论，利用h（x）=exa，易求x=lna时，函数取得最小值aaln
8、a，依题意即可求得a的取值范围，可判断；，举例说明，f（x）=2x，g（x）=2x1，则f（x）g（x）=10恒成立，可判断【解答】解：，x0时，f（x）=lnx（，+），不能使得f（x）g（x）=2对一切实数x都成立，故错误；，令t（x）=f（x）g（x），则t（x）=x+sinx（x1）=sinx+10恒成立，故函数g（x）=x1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数，正确；，令h（x）=exax，则h（x）=exa，由题意，a=0时，结论成立；a0时，令h（x）=exa=0，则x=lna，函数h（x）在（，lna）上为减函数，在（lna，+）上为增函数，x=lna时，函数取得最小值a
9、alna；g（x）=ax是函数f（x）=ex的一个承托函数，aalna0，lna1，0ae，综上，0ae，故正确；，不妨令f（x）=2x，g（x）=2x1，则f（x）g（x）=10恒成立，故g（x）=2x1是f（x）=2x的一个承托函数，错误；综上所述，所有正确命题的序号是故答案为：14. 已知五条线段的长度分别为2，3，4，5，6，若从中任选三条，则能构成三角形的概率为 参考答案：15. 若在区间和上分别各取一个数，记为和，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为 参考答案：略16. 一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的频率为0.6，则估计样本在
10、40，50），50，60）内的数据个数之和是 参考答案：21【考点】频率分布表【专题】计算题；概率与统计【分析】设分布在40，50），50，60）内的数据个数分别为x，y根据样本容量为50和数据在20，60）上的频率为0.6，建立关于x、y的方程，解之即可得到x+y的值【解答】解：根据题意，设分布在40，50），50，60）内的数据个数分别为x，y样本中数据在20，60）上的频率为0.6，样本容量为50，解之得x+y=21即样本在40，50），50，60）内的数据个数之和为21故答案为：21【点评】本题给出频率分布表的部分数据，要我们求表中的未知数据着重考查了频率分布表的理解和频率计算公式等知
11、识，属于基础题17. 在某项测量中，测量结果服从正态分布若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 参考答案：0.8略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列an满足an+1=，其中a1=0（1）求证是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设Tn=an+an+1+a2n1若Tnpn对任意的nN*恒成立，求p的最小值参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）an+1=，可得an+1+1=，取倒数化简即可证明（2）Tn=an+an+1+a2n1pn，可得n+an+an+1+a2n1p，即（1+an）+（1+an+1）+（1+an
12、+2）+（1+a2n1）p，对任意nN*恒成立，而1+an=，设H（n）=（1+an）+（1+an+1）+（1+a2n1），考虑其单调性即可得出【解答】（1）证明：an+1=，an+1+1=+1=，由于an+10，=1+，是以1为首项，1为公差的等差数列=1+（n1）=n，an=1 （2）Tn=an+an+1+a2n1pn，n+an+an+1+a2n1p，即（1+an）+（1+an+1）+（1+an+2）+（1+a2n1）p，对任意nN*恒成立，而1+an=，设H（n）=（1+an）+（1+an+1）+（1+a2n1），8 分H（n）=+，H（n+1）=+，H（n+1）H（n）=+=0，数列H
13、（n）单调递减，nN*时，H（n）H（1）=1，故p1p的最小值为119. 已知函数 （）用定义证明是偶函数；（）用定义证明在上是减函数； （）作出函数的图像，并写出函数当时的最大值与最小值 参考答案：（）证明：函数的定义域为，对于任意的，都有，是偶函数（）证明：在区间上任取，且，则有，即 ，即在上是减函数 （）解：最大值为，最小值为略20. 已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA与直线PB的倾斜角互补O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由参考答案：(1)设圆心C(a，b)，
