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1、湖南省湘潭市汾水中学高一数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，已知成等差数列，且，则( )A2 B C D参考答案：B2. Sn为等差数列an的前n项和，且.记，其中x表示不超过x的最大整数，如，则数列bn的前1000项和为()A. 1890B. 1891C. 1892D. 1893参考答案：D【分析】先求出等差数列的通项公式，再分析数列的各项取值，求其前项和.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，故.，当时，；当时，；当时，；当时，.所以数列的前1000项和为.【点睛】本题考查等差数列的基本问题
2、，分组求和，解题的关键是根据新定义判断数列的哪些项的值是相同的.3. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（，0上是增函数，设a=f（log45），b=f（log23），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）AbacBabcCbcaDcab参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得a=f（log45）=f（log45），c=f（0.20.6）=f（0.20.6），分析可得0.20.6log45log23，结合函数的单调性可得f（0.20.6）f（log45）f（log23），即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，则a=f
3、（log45）=f（log45），c=f（0.20.6）=f（0.20.6），又0.20.61log45log23，则0.20.6log45log23，因为函数f（x）在（，0上是增函数，故f（0.20.6）f（log45）f（log23），则有bac，故选：A4. 函数，的值域是（ ）A B C D参考答案：B略5. 已知（，），cos=，则tan（）等于（）A7BCD7参考答案：B【考点】GR：两角和与差的正切函数；GG：同角三角函数间的基本关系【分析】由的范围及cos的值，确定出sin的值，进而求出tan的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tan的值代
4、入计算即可求出值【解答】解：（，），cos=，sin=，tan=，则tan（）=故选B6. 已知，则的大小关系为（ ）A B C. D参考答案：A由题意得，选A7. 平面向量a与b的夹角为，则 （A） (B) (C) 4 (D)12参考答案：B解析：由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412 8. 判断下列各命题的真假：（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6）有向线段
5、就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个参考答案：C9. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】由已知中直线和互相平行，求出的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离【详解】直线和互相平行，则，将直线的方程化为，则两条平行直线之间的距离，.故选：D【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题10. 在等比数列an中，则（）A. 140B. 120C. 100D. 80参考答案：D【分析】，计算出，然后将，得到答案.【详解】等比数列中，又因为，所以，所以，故选
6、D项.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，属于简单题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线恒过定点 参考答案：（-2，1）略12. 化简= .参考答案：13. 在ABC中，_。参考答案：14. 若函数与互为反函数，则的单调递增区间是_.参考答案：略15. 已知突数，则_，_(用，填空).参考答案：； 【分析】用作差法比较大小【详解】，故答案为；16. 已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：当x（0，1时，f（x）=（）x；f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（log224）=参考答案：【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分
7、析】由f（x）的图象关于x=1对称可以得出f（x）=f（x4），从而可以得到f（log224）=f（log2244）=f（log231），可判断log231（0，1），从而可以求出，这样根据指数式和对数式的互化及指数的运算即可求得答案【解答】解：f（x）的图象关于x=1对称；f（x）=f（2x）=f（x2）=f（x4）；即f（x）=f（x4）；f（log224）=f（log224）=f（log2244）=f（log231）；log231（0，1）；=；故答案为：【点评】考查奇函数的定义，f（x）关于x=a对称时有f（x）=f（2ax），以及对数的运算，指数的运算，对数式和指数式的互化17. 已
8、知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 参考答案： 函数对称轴，最小值令，则恒成立，即在上. ， 在单调递增， ，解得，即实数的取值范围是三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列an满足，.（1）证明是等比数列，并求an的通项公式；（2）若数列bn满足,为数列的前n项和，求Tn参考答案：(1)证明见详解，；(2).【分析】(1) 要证明是等比数列，只须证且.(2)求得的通项公式，可知应用错位相减法求和.【详解】(1)因为，所以.由，可得，所以数列是等比数列，且首项和公比都是.所以.所以数列的通项公式为.(2),则.所以，则.以
9、上两式相减得，所以.【点睛】本题考查等比数列的基本问题，错位相减法求和.若数列满足且，分别是等差数列和等比数列，则可以用错位相减法求数列的前项和.19. （10分）已知函数（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数参考答案：考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质 专题：计算题；证明题分析：（1）先设x1x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）f（x2）0，即可；（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（x）=f（x），从而求得a值即可解答：解：（1）f（x）的定义域为R，设x1x2，则=（4分）x1x2，f（x1）
10、f（x2）0，（6分）即f（x1）f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数（7分）（2）f（x）为奇函数，f（x）=f（x），即，解得：（12分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想属于基础题20. （本小题满分12分）已知数列an中，a1=1，an an+1=()n (nN*)，记T2n为an的前2n项的和（1）设bn =a2n，证明：数列bn是等比数列；（2）求T2n；（3）不等式64T2na2n3（1ka2n）对于一切nN*恒成立，求实数k的最大值.参考答案：21. 已知正项数列an的前n项和为Sn，满足.（1）（i）
11、求数列an的通项公式；（ii）已知对于，不等式恒成立，求实数M的最小值；（2） 数列bn的前n项和为Tn，满足，是否存在非零实数，使得数列bn为等比数列？ 并说明理由.参考答案：(1) （）（） (2)见解析【分析】（1）（）由知，作差求得，得到数列为等差数列，求得.（）由等差数列前n项和公式得到，对取倒，得到，裂项相消求得，从而得到M的最小值. （）由（）可知，所以得到，求解数列得到，检验，所以不存在.【详解】解：（1）（）时，又，当时，.作差整理得：，数列的等差数列，.（）由（）知，不等式恒成立，实数的最小值是.（2）由，知，当时，当时，数列是等比数列，与矛盾，不存在非零实数，使得数列为等比数列.【点睛】本题考查数列求通项公式知求，考查数列裂项相消求和，考查等比数列的证明，考查了学生的计算能力，属于中档题.22. 已知函数f(x)=3sin (1)用五点法画出的图象.(2)写出f(x)的值域、周期、对称轴,单调区间.参考答案：略
