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1、湖南省衡阳市祁东县砖塘中学2022-2023学年高一数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为（ ）A.(,+) B.,+) C.(, +) D.(- , )参考答案：A2. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是A至少有1名男生与全是女生 B至少有1名男生与全是男生 C至少有1名男生与至少有1名女生 D恰有1名男生与恰有2名女生参考答案：D略3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. y=ex B. y=cosx C. y=sinx D
2、. y=x|x| 参考答案：D4. 若的值为 （ ） A1 B3 C15 D30参考答案：D5. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（）1813 101 用电量（度）243438 64由表中数据得到线性回归方程=2x+a，当气温为4时，预测用电量均为（）A68度B52度C12度D28度参考答案：A【考点】线性回归方程【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数【解答】解：由表格得=10
3、， =40（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a中的b=2，40=10（2）+a，解得：a=60，=2x+60，当x=4时， =2（4）+60=68故选：A6. 已知平面向量，若与共线且方向相同，则x=（ ）A2 B1 C1 D2参考答案：A7. 有以下四个结论（且）：（1）（2）（3）（4）其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：C【分析】利用对数与指数的运算性质即可得出结果【详解】解：且（1），正确；（2），正确；（3）正确；（4），因此不正确其中正确结论的个数是3故选：C【点睛】本题主要考查指数与对数运算，熟记运算性质即可，属于常考题型.8.
4、设，则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbacDbca参考答案：B【考点】对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值【专题】函数的性质及应用【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出结论【解答】解：，0log321，lg（sin2）lg1=0a1，0c1，b0bca故选B【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题9. （5分）函数f（x）=lgxsinx的零点个数是（）A1B2C3D4参考答案：考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：画出函数y=lgx的图象（红线部分）和函数y=sinx的图象（蓝线部分），即可判断两个函数图象的交点个数，数形结合可
5、得结论解答：函数f（x）=lgxsinx的零点的个数，即函数y=lgx的图象（红线部分）和函数y=sinx的图象（蓝线部分）的交点个数，如图所示：显然，函数y=lgx的图象（红线部分）和函数y=sinx的图象（蓝线部分）的交点个数为3，故选：C点评：本题主要考查函数的两点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题10. 已知，满足约束条件，若的最小值为，则（ ）A B C D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=x2|x|+a1有四个零点，则a的取值范围是 参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】将方程的零点问题转
6、化成函数的交点问题，作出函数的图象得到a的范围【解答】解：由f（x）=x2|x|+a1=0，得a1=x2+|x|，作出y=x2+|x|与y=a1的图象，要使函数f（x）=x2|x|+a1有四个零点，则y=x2+|x|与y=a1的图象有四个不同的交点，所以0a1，解得：a故答案为：12. 若把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象关于原点对称，则的最小正值是参考答案：13. 数列的前n项和为，若，则_ 参考答案：12因为an13Sn，所以an3Sn1(n2)，两式相减得：an1an3an，即4(n2)，所以数列a2，a3，a4，构成以a23S13a13为首项，公比为4的等比数列，所以a6a244
7、34414. 若是等比数列，且，则 .参考答案：15. 已知扇形的圆心角为120，弧长为2cm，则这个扇形的面积等于 cm2参考答案： 16. 设函数y=sinx（0x）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间 参考答案：【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】依题意，对x0，与x，讨论即可【解答】解：依题意得f（x）=|AB|，（0|AB|）当x0，时，|AB|由变到0，0，为f（x）单调递减区间；当当x，时，|AB|由0变到，为f（x）
8、单调递增区间故答案为：，【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与分析问题的能力，属于中档题17. 在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_参考答案：北偏西30三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （1） （2）参考答案：略19. 已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：（1） 对任意的，总有；（2）；（3） 若，且，则有成立，则称为“友谊函数”，请解答下列各题： ()若已知为“友谊函数”，求的值； ()函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由. ()已知
9、为“友谊函数”，假定存在，使得且， 求证：.参考答案：解（）取得， 又由，得 -分（）显然在上满足（1） ；（2）.-分若，且，则有 故满足条件（1）、（2）、（3），-分所以为友谊函数.-分()由 （3）知任给其中，且有，不妨设-分所以：.-分下面证明：若，则有或若，则，这与矛盾； -12分（i） (ii)若，则，这与矛盾；-13分 综上所述：。-14分 略20. 已知A=x|a+1x2a1|，B=x|x3或x5|（1）若a=4，求AB；（2）若A?B，求a的取值范围参考答案：【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用【分析】（1）将a=4代入求集合A，然后求AB；（2）注意
10、讨论A是否是空集【解答】解：（1）当a=4时，A=x|5x7，B=x|x3或x5，AB=x|5x7（2）若2a1a+1即a2时，A=?，满足A?B若2a1a+1即a2时，只须或，解得a4综上所述，a的取值范围为a|a2或a421. （本小题满分12分）已知函数（其中为常数且）的图象经过点（）求的解析式；（）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（）；（）。22. 如图，等腰直角ABC中，M，N分别在直角边AB，AC上，过点M，N作边BC的垂线，垂足分别为Q，P，设，矩形MNPQ的面积与周长之比为f(x)（）求函数f(x)的解析式及其定义域；（）求函数f(x)的最大值参考答案：解：（1）由题，则，又，的定义域为（6分）（2），于是，即当时，的最大值为
