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1、安徽省马鞍山市阳光学校高三数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA平面ABC，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24参考答案：C由题意得为球的直径,而,即球的半径;所以球的表面积.本题选择C选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关
2、元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2. 的单调减区间为（ ）A B C D参考答案：A略3. 在 ABC中，若对任意的，都有，则 （ ） A.一定为锐角三角形 B.一定为钝角三角形 C.一定为直角三角形 D.可以为任意三角形参考答案：CAB=c,AC=b,BC=a，将两边平方得即关于的不等式在R上恒成立，因此0，整理为，再由正弦定理得，则角C为直角.4. 已知中，平面外一点，满足， 则三棱锥的体积是（） A. B. C. D.参考答案：B因为，所以棱
3、锥顶点在底面投影为的外心, 因为,所以,则外接圆半径为，所以三棱锥的高为，,则三棱锥的体积为,选B5. 已知命题，命题对于实数，是的必要不充分条件，则（ ）A.“或”为假 B. “或”为真C.“且”为真 D. “且”为真参考答案：D6. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D参考答案：D由于函数是奇函数，且在R上是增函数；所以不等式注意到时，当时，无论为何值，不等式均成立；当时，从而不等式等价于，所以，而所以实数的取值范围是7. 已知集合,，则为A. B. C. D. 参考答案：D略8. 已知在R上是奇函数,且（ ）A B2 C D98参考答案：A9. 点A，B，C，
4、D在同一球面上，若四面体ABCD体积最大值为3，则这个球的表面积为A. 2 B. 4 C. 8 D. 16参考答案：D由体积最大得高为3，得10. 已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是ABC D参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线=3的一个方向向量可以是 参考答案：（2，1）【考点】二阶矩阵【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；矩阵和变换【分析】平面中，直线方程Ax+By+C=0它的一个方向向量是（B，A），由此利用二阶行列式展开式能求出直线的一个方向向量【解答】解：直线=3，x2y3=0直线=3的一个方向向量可以是（
5、2，1）故答案为：（2，1）【点评】本题考查直线的方向向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养12. 已知命题“”，命题 “”，若命题均是真命题，则实数的取值范围是_参考答案：略13. 设曲线yxn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlgxn，则a1a2a99的值为_ 参考答案：14. 设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为 参考答案：3【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由
6、得A（3，3），z=2xy可转换成y=2xz，z最大时，y值最小，即：当直线z=2xy过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3故答案为：315. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积_参考答案：【知识点】余弦定理，正弦定理 C8解析：由余弦定理，得，.面积，故答案为.【思路点拨】【思路点拨】由余弦定理可求，再利用即可.16. 已知曲线,则曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为 .参考答案： 17. 已知向量=（1，2），=（3，2），则（+）?=参考答案：14考点： 平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算专题： 平面向量及应用分析： 由向量的坐标运算可得+=（2，4），由数量
7、积的坐标运算可得解答： 解：=（1，2），=（3，2），+=（1，2）+（3，2）=（2，4），（+）?=2（3）+42=14故答案为：14点评： 本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 若数列an的前n项和为Sn，首项，且（1）求数列an的通项公式；（2）若，令，求数列bn的前n项和Tn.参考答案：（1）且 （2） 19. 已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=2,2sin A=acos C,(1)求角C的大小;(2)若2sin 2A+sin(2B+C)=sin C,求ABC的面
8、积.参考答案：(1)由已知得,csin A=acos C,由正弦定理得,sin Csin A=sin Acos C.又sin A0,cos C0,sin C=cos C,tan C=,C=.(2)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C得,2sin 2A=sin C-sin(2B+C),4sin Acos A=sin(A+B)-sin(-A)+B=sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Bcos A.当cos A=0时,A=,此时B=,c=2,b=,SABC=bc=.当cos A0时,sin B=2sin A,b=2a.由c2=a2+b2-2abcos C得,4=a2+b2-ab
9、.联立,得, SABC=absin C=.综上所述,ABC的面积为.本题主要考查三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换等知识,意在考查考生的运算求解能力.第(1)问,先将2sin A转化为csin A,再根据边角关系化简得到sin C=cos C,最后求出角C;第(2)问,先用内角和定理、三角恒等变换将2sin 2A+sin(2B+C)=sin C转化为4sin Acos A=2sin Bcos A,再结合cos A是否等于0分类讨论,最后利用三角形的面积公式求解.【备注】把三角恒等变换、解三角形结合起来是近几年高考考查三角部分的主要命题方向之一,但问题的核心依
10、然是三角恒等变换及正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及三角形面积公式的运用.在解决这类问题时,只要抓住问题的本质,把三角形的问题归结到三角恒等变换上,灵活地选用三角恒等变换公式是不难解决的.20. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB+b=2a，b=6，a=4（1）求角C的大小；（2）若点D在AB边上，AD=CD，求CD的长参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式，求得sinB=2sinBcosC，求得cosC=，根据C的取值范围，即可求得角C的大小；（2）由余弦定理求得c=2，设CD=x，在ABC和ACD中，分别应用
11、余弦定理求得cosA=，cosA=，联立即可求得CD的长【解答】解：（1）由正弦定理可知： =2R，（R为外接圆半径），a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB+b=2a，2sinCcosB+sinB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，sinB=2sinBcosC，由B（0，），则sinB0，则cosC=，由C（0，），则C=，角C为；（2）由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC=28，则c=2，设CD=x，则在ABC中，cosA=，在ACD中，cosA=，=，解得：x=，CD的长21. 已知函数（）求f（x）的最小正周期
12、；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性 【专题】三角函数的图像与性质来源:学_科_网【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x，得2x再由正弦函数在区间，上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值【解答】解：（I）sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2
13、x）f（x）=sin（2x+）+6sinxcosx2cos2x+1=sin2xcos2x+3sin2x（1+cos2x）+1=2sin2x2cos2x=2sin（2x）因此，f（x）的最小正周期T=；（II）0x，2x当x=0时，sin（2x）取得最小值；当x=时，sin（2x）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=2【点评】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（x+）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题22. （本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.如图，已知正四棱柱的底面边长是，体积是，分别是棱、的中点（1）求直线与平面所成的角（结果用反三角函数表示）；（2）求过的平面与该正四棱柱所截得的多面体的体积参考答案：解：（1）连结，直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.连结,连结，是直线与平面所成的角.2分中，4分
