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1、广东省梅州市古野中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点A是半径为1的O外一点，且AO=2，若M，N是O一条直径的两个端点，则=( )A1B2C3D4参考答案：C考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：先由题意画出图象，利用向量的加法法则得：=、=，由向量的数量积运算和条件求出的值解答：解：如右图：0A=2，OM=ON=1，=，=，=（）?（）=+=+=4+01=3，故选：C点评：本题考查向量的数量积运算，以及向量的加法法则，属于中档题2. 设函数的最小正周期为，且，则(
2、 )A在单调递减 B在单调递减C在单调递增 D在单调递增参考答案：A因为且函数的最小正周期为，所以，所以，即函数，又函数，所以函数为偶函数，所以，即，因为，所以当时，所以，当时，此时函数单调递减，选A.3. 已如点M（1，0）及双曲线的右支上两动点A，B，当AMB最大时，它的余弦值为（）ABCD参考答案：D4. 在ABC中，a=2，b=2，B=45，则A=( )A30或120B60C60或120D30参考答案：C考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由题意和正弦定理求出sinA的值，再由内角的范围和边角关系求出角A的值解答：解：由题意知，a=2，b=2，B=45，由正弦定理得，则sinA=，因为
3、0A180，且ab，所以A=60或120，故选：C点评：本题考查正弦定理，内角的范围，以及边角关系，属于中档题和易错题5. 已知且，,则（ ）A是正数 B是负数 C是零 D不能确定参考答案：A6. 下图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B易知该几何体的下部是一个棱长为1的正方体，体积为1，所以上部的体积为，再结合三视图中的B图知道，这是上部是一个四棱锥，其底面与下部的正方体上底面重合，其顶点在底面上的射影是正方体的内侧上边棱的中点，则此棱锥的体积为，符合题意，故应选B.7. 设集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+
4、b，aA，bB，则M中元素的个数为（）A3B4C5D6参考答案：B考点：集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值专题：计算题分析：利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可解答：解：因为集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8共4个故选B点评：本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力8. 已知函数下列结论中 函数的图象是中心对称图形 若是的极小值点，则在区间单调递减 若是的极值点，则
5、. 正确的个数有 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C略9. 设，则“”是“直线与直线平行”的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：B略10. 已知且，则函数与函数的图像可能是（ ）A B C. D参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 参考答案：12. 已知则为 . 参考答案：13. 双曲线=1一条渐近线方程是y=x，则其离心率为参考答案：【考点】双曲线的简单性质【分析】根据渐近线的方程，得到a，b之间的关系，根据c2=a2+b2，得到，从而离心率【解答】解：双曲线=1一条渐近线方程是y=x，故，由于
6、双曲线中c2=a2+b2，得到，从而离心率故答案为：14. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是 。参考答案：15. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往临近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆甲型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 元.参考答案：略16. 已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：，则圆截直线所得弦
7、长为 .参考答案：圆（为参数）表示的曲线是以点为圆心，以为半径的圆，将直线的方程化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，故圆截直线所得弦长.17. 写出用三段论证明为奇函数的步骤是参考答案：满足的函数是奇函数，大前提，小前提所以是奇函数 结论三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列的各项均为正整数，且，设集合。性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。性质2 若记，且对于任意，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列
8、为完美数列，当取最大值时称为阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（）若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。（）若数列为阶完美数列，试写出集合，并求数列通项公式。参考答案：解：（）； 为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列； （）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有，即，其中，必有，所以仅存在唯一一组（）使成立，即数列为阶完备数列； ，对，则，因为，则，所以，即 （）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为。 略19. 命题
9、p：实数x满足x24ax+3a20（其中a0）；命题q：实数x满足（）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围参考答案：考点：命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断343780 专题：转化思想分析：（I）将a=1代入，求出命题p为真时，x的范围；进而解不等式组求命题q为真时，x的范围，由pq为真，两个命题均为真，构造不等式组，即可得到实数x的取值范围；（）?p是?q的充分不必要条件，则?p?q，且?q?p，根据（I）中结论，构造关于a的不等式，解得实数a的取值范围解答：解：（）由x24ax+3a20得（x3a）（xa）0，
10、又a0，所以ax3a，当a=1时，1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3（2分）由得解得2x3，即q为真时实数x的取值范围是2x3（4分）若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是（2，3）（6分）（）由（）知p：ax3a，则?p：xa或x3a，（8分）q：2x3，则?q：x2或x3，（10分）?p是?q的充分不必要条件，则?p?q，且?q?p，解得1a2，故实数a的取值范围是（1，2（12分）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，充要条件，其中根据复合命题的真值表及充要条件的定义，将问题转化为不等式组，或集合关系问题是解答的关键20. 已知函数f（x）=ax3x2+1（xR），其
11、中a0（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）若对?x1，不等式f（x）a2恒成立，求a的取值范围参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）利用导数求出x=2处的斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）要使对?x1，不等式f（x）a2恒成立，即f（x）maxa2；利用导数判断单调性求出f（x）的最大值即可【解答】解：（1）由a=1，所以f（x）=x3+1，f（2）=3；又f（x）=3x23x，所以k=f（x）=6；所以切线方程为y3=6（x2）；切线方程为：y=6x9（2）f（x）=3ax23x 令f（x）=3ax2
12、3x=0；?x1=0，x2=；因为a0，所以y=f（x）在（，0，+）递增，在（0，）递减；要使对?x1，不等式f（x）a2恒成立，即f（x）maxa2，1当时，即0a2时，y=f（x）在1，0递增，在（0，）递减；f（x）max=f（0）=1a2 所以1a2； 2当时，即a2时，y=f（x）在1，0递增，在（0，）递减，在，递增；，f（）=f（0）=1?a=3； 当2a3时， =f（0）=1a2 所以2a3；当a3时， =f（）a2，即8a2a50 对?a3都成立； 综合1，2得：a121. 已知函数（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：（1）把a=1代入函数解析式，求出函数在x=0时的函数值f（0），求出f（0），利用直线方程的点斜式可得曲线f（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）求出原函数的导函数，分a=0，a0，a0三种情况分析导函数在定义域内的符号，当a=0时，导函数在定义域内恒小于0，所以原函数在定义域内的两个区间内单调递减，当a0时，求出导函数的零点由零点把定义域分段，判断导
