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1、湖南省衡阳市双安中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的焦点在x轴上，则实数m的值为（）A0 B C2D3参考答案：答案:B 2. 曲线在点处的切线与轴及直线所围成的三角形的面积为()A. B. C. D.参考答案：B略3. 已知点M在平面ABC内，且对空间任意一点O， =x（x0，y0），则的最小值为（）ABC D参考答案：D【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】根据四个面可得x+y=3，代入，利用基本不等式得出最小值【解答】解：A，B，C，M四点共面，x+y2=1，即x
2、+y=3=+=+，又x0，y0，+2=当且仅当x2=3y2时取等号+=故选：D4. 已知集合，则集合A中元素个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6参考答案：C【分析】根据函数的定义域可解得x的范围，结合，即可求出A中元素的个数。【详解】由题意得，即，解得，又，所以满足条件的x为1,2,3,4,5，共5个，故选C【点睛】本题考查函数的定义域问题，考查了一元二次不等式的解法，属基础题，5. 设的三边长分别为a、b、c，的面积为S，内切圆半径为r，则类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()参考答案：C略6.
3、 给出三个命题：（1）若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行.（2）若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行.（3）若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行.其中正确命题的个数是 （A）0 （B） 1 （C） 2 （D）3参考答案：B（1）（2）都不成立，只有（3）是正确的考点：命题，直线与平面的基础知识7. 圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（ ）A720 B360 C240 D120参考答案：D略8. 函数，的部分图象如图所示，则的值分别是()A B C D参考答案：A【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为，得所以，故答案为：
4、A9. 若，则下列结论正确的是（ ）A BC D参考答案：D10. 等于A1B2C5D6参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递减区间为_参考答案：（0,1）答案不唯一略12. 空间中一点出发的三条射线，两两所成的角为，在射线上分别取点，使 ，则三棱锥的外接球表面积是_.参考答案： 略13. 若复数z满足z（1i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则= 参考答案：1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得【解答】解：z（1i）=2i，故答案为：1i14. ；参考答案：15. 已知AB
5、C外接圆O的半径为2，且，则_.参考答案：12【分析】由可知，点是线段的中点，是外接圆的圆心，可以判断是以为斜边的直角三角形，又，可得,利用向量数量积的定义求出的值.【详解】因为，所以点是线段的中点，是外接圆的圆心，因此是以为斜边的直角三角形，又因为，所以,因此,，所以【点睛】本题考查了平面向量的加法几何意义、考查了平面向量数量积运用，解题的关键是对形状的判断.16. 若函数有六个不同的单调区间，则实数的取值范围是 .参考答案：（2,3）17. 已知等差数列的前n项和为，若，则=_.参考答案：36略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，
6、。（1）当时，求的最大值； （2）设，是图像上不同的两点的连线的斜率，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。参考答案：的定义域为，。（1）当时，在上， ，所以在区间上单调递减，故。 （2）存在符合条件。解法一：据题意在=图像上总可以找到一点，使以为切点的切线平行图像上的任意两点的连线，即存在恒成立，因为，所以，所以=。故存在符合条件。解法二：=，不妨设任意不同两点，其中，则=。由于恒成立，则恒成立，知恒成立。因为，所以，故， 故存在符合条件。19. （13分）如表，将数字1，2，3，2n（n3）全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字第一行填入的数字依次为a
7、1，a2，an，第二行填入的数字依次为b1，b2，bn记=|a1b1|+|a2b2|+|anbn|a1a2anb1b2bn（）当n=3时，若a1=1，a2=3，a3=5，写出S3的所有可能的取值；（）给定正整数n试给出a1，a2，an的一组取值，使得无论b1，b2，bn填写的顺序如何，Sn都只有一个取值，并求出此时Sn的值；（）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同参考答案：【考点】数列与函数的综合【分析】（）根据新定义计算即可，（）ai=i（i=1，2，n），则无论b1，b2，bn填写的顺序如何，都有，根据新定义求出即可，（）方法一：交换每一列中两个数的位置，所
8、得的Sn的值不变，不妨设aibi，记，求出Sn=AB，即可证明，方法二：考虑如下表所示的任意两种不同的填法，若在两种填法中k都位于同一行，若在两种填法中k位于不同行，即可证明【解答】解：（）a1=1，a2=3，a3=5，b1，b2，b3值为2，4，6S3=|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|=|1b1|+|3b2|+|5b3|，S3的所有可能的取值为3，5，7，9（） 令ai=i（i=1，2，n），则无论b1，b2，bn填写的顺序如何，都有因为 ai=i，所以 bin+1，n+2，2n，（i=1，2，n）因为 aibi（i=1，2，n），所以注：a1，a2，an=1，2，n，或a1，a2，
9、an=n+1，n+2，2n均满足条件（）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变不妨设aibi，记，其中i=1，2，n则因为，所以 A+B与n具有相同的奇偶性又因为 A+B与AB具有相同的奇偶性，所以 Sn=AB与n的奇偶性相同，所以 Sn的所有可能取值的奇偶性相同解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变考虑如下表所示的任意两种不同的填法，不妨设aibi，aibi，其中 i=1，2，na1a2anb1b2bn对于任意k1，2，2n，若在两种填法中k都位于同一行，则k在Sn+Sn的表达式中或者只出现在中，或只出现在中，且出现两次，则对k而言，在Sn+Sn的结果
10、中得到2k若在两种填法中k位于不同行，则k在Sn+Sn的表达式中在与中各出现一次，则对k而言，在Sn+Sn的结果中得到0由 得，对于任意k1，2，2n，Sn+Sn必为偶数所以，对于表格的所有不同的填法，Sn所有可能取值的奇偶性相同【点评】本题考查了新定义的应用，以及数列求和问题，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，属于难题20. 已知M（b，0），N（b，0）（b0），P是曲线C上的动点，直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为（1）求曲线C的方程；（2）直线l：y=xb与曲线C相交于A、B，设O为坐标系原点，=+，证明：2+2是定值参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【分析】（
11、1）设p（x，y），直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为得，得x2+3y2=3b2，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），联立得4，=3b29b2+6b2=0，由=+，得x=x1+x2，y=y1+y2，代入x2+3y2=3b2得， 2（=3b2，得2+2=1（定值）【解答】解：（1）设p（x，y），直线PM的斜率与直线PN的斜率的积为，得x2+3y2=3b2，曲线C的方程为：x2+3y2=3b2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，联立得4，=3b29b2+6b2=0由=+，得x=x1+x2，y=y1+
12、y2，代入x2+3y2=3b2得， 2（=3b2，2+2=1（定值）21. (本小题满分13分)已知椭圆（常数）的左顶点为，点，为坐标原点（）若是椭圆上任意一点，求的值；（）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由参考答案：（），得2分 将代入椭圆得化简得5分（）法一：当的斜率不存在时，不妨设，且，由 化简得 ，联立椭圆方程解得， 故（为定值）6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为由由，可得7分又 ，可得 9分因为，点到直线的距离10分综上：的面积为定值13分解法二：由条件得， 6分平方得, 即 7分8分=12分故的面积为定值 13分22. 已知函数.（）若，试确定函数的单调区间；（）若且对任意，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（）为偶函数，恒成立等价于对恒成立 7分解法一：当时，令，解得 8分当，即时，在减，在增，解得， 11分当，即时，在上单调递增，符合， 14分综上，. 15分略
