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1、2022-2023学年山西省长治市郝家庄乡高河联校中学高二数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线与圆的位置关系是（ ）A相交且过圆心B相切C相离D相交但不过圆心参考答案：D略2. 已知函数f（x）=x3+2x23的导函数为f（x），则f（2）等于（）A4B6C10D20参考答案：A【考点】63：导数的运算【分析】求导，当x=2时，即可求得f（2）【解答】解：f（x）=x3+2x23，求导f（x）=3x2+4x，f（2）=3（2）2+4（2）=4，故选A3. 设a，b0，若a+b=2，则的最小值为（）
2、A3+2B6C9D3参考答案：D【考点】基本不等式【分析】a，b0，a+b=2，可得2a1+2b=3，则=，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a，b0，a+b=2，2a1+2b=3，则=3，当且仅当b=2a1=1时取等号故选：D4. 某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.参考答案：A5. 设，若是与的等比中项，则的最小值是 （ ）. 4 . 8 .1 . 参考答案：A6. 下列叙述错误的是()A. 若事件A发生的概率为,则B. 互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件C. 两个对立事件的概率之和为1D. 对于任意
3、两个事件A和B,都有参考答案：D7. 已知为等比数列，则 （ ）A、B、 C、 D、参考答案：D8. 已知曲线y=x2+2x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（）A（1，3）B（1，3）C（2，3）D（2，3）参考答案：B【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出M（m，n），求出导数，求得切线的斜率，由题意可得2m+2=0，解得m，进而得到n，即可得到切点坐标【解答】解：y=x2+2x2的导数为y=2x+2，设M（m，n），则在点M处的切线斜率为2m+2，由于在点M处的切线与x轴平行，则2m+2=0，解得m=1，n=122=3，即有M（1，3）故选B【点评】本题考查导数
4、的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件，正确求导是解题的关键9. AB为的直径，C为上一点，PA垂直于所在的平面，下列命题中正确命题的序号为是平面PAC的法向量； 的法向量；是平面PBC的法向量； 是平面ADF的法向量 （ ）A B C D参考答案：10. “”是“”成立的（ ）A充分而非必要条件B充要条件 C必要而非充分条件D既非充分又非必要条件参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线y2=4x上一点A到点B（3，2）与焦点的距离之和最小，则点A的坐标为参考答案：（1，2）【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），直
5、线l的方程：x=1如图所示，过点A作AMl，垂足为M由定义可得|AM|=|AF|因此当三点B，A，M共线时，|AB|+|AM|=|BM|取得最小值yA，代入抛物线方程可得xA【解答】解：由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），直线l的方程：x=1如图所示，过点A作AMl，垂足为M则|AM|=|AF|因此当三点B，A，M共线时，|AB|+|AM|=|BM|取得最小值3（1）=4此时yA=2，代入抛物线方程可得22=4xA，解得xA=1点A（1，2）故答案为：（1，2）12. 直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，则直线l的方程为_.参考答案：2x3
6、y120设直线方程为，当时，；当时，所以，解得，所以，即。13. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点D是上底的中心，那么BG与AD所成的角的大小是 .参考答案：14. 已知是关于的实系数方程的一个根，则 .参考答案：15. 在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为，则有cos2+cos2=1类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为，则cos2+cos2+cos2=参考答案：2【考点】类比推理；棱柱的结构特征【分析】由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的
7、角为，则cos2+cos2+cos2=2，解直角三角形证明其为真命题即可【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是，则有cos2+cos2=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，长方体ABCDA1B1C1D1中，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为，cos=，cos=，cos=，cos2+cos2+cos2=，令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2+cos2+cos2=2故答案为：cos2+cos2+cos2=216. 对于大于1的自然数的三
8、次幂可以用奇数进行以下方式的“分裂”：，仿此，若的“分裂”中有一个数是135，则的值为_.参考答案：12补充，用掉1个奇数，用掉2个奇数，依此类推，用掉m个奇数，而135是第68个奇数，则且，17. 已知单位向量和的夹角为，则= .参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本题满分12分)已知直线l：mx2y+2m=0(mR)和椭圆C：(ab0), 椭圆C的离心率为，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2.（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l经过的定点为Q，过点Q作斜率为k的直线l/与椭圆C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；()设
9、直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，线段PM长度的最大值为f(m)，求f(m)的表达式.参考答案：(本题满分12分)（I）由离心率，得又因为，所以，即椭圆标准方程为. 4分（II）由l：mx2y+2m=0经过定点Q(2, 0), 则直线l/：y=k(x+2)， 由 有 所以， 可化为 解得 8分() 由l：mx2y+2m=0，设x=0, 则y=m, 所以P(0, m). 设M(x, y)满足,则|PM|2 =x2 +(y m)2 =22y2 +(y m )2 = y2 2my +m2+2 = (y +m)2 +2m2 +2， 因为 1y1, 所以当|m|1时，|MP|的最大值f(m)=
10、1+|m|；当|m|1时，|MP|的最大值f(m)=；所以f(m)=. 12分略19. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC（）求证：a，b，c成等比数列；（）若a=1，c=2，求ABC的面积S参考答案：【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可
11、求sinB，代入三角形的面积公式S=可求【解答】（I）证明：sinB（tanA+tanC）=tanAtanCsinB（）=sinB?=sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsincsinBsin（A+C）=sinAsinC，A+B+C=sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，0BsinB=ABC的面积【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别
12、是的中点(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的大小 参考答案：21. (本小题满分12分)正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长.参考答案：解：设正三角形的另两个顶点为A、B，由抛物线的对称性知A、B关于轴对称设，则解得即正三角形的边长为 12分略22. 设函数（I）求的单调区间（II）求在区间上的最大值参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可【解答】解：（I）因为其中，所以，令，解得：，令，解得：，所以的增区间为，减区间为（II）由（I）在单调递增，在上单调递减，
