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1、2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市第六中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知=（1，k），=（k，4），那么“k=2”是“，共线”的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C非充分非必要条件D充要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可解答：解：若k=2，则=（1，2），=（2，4），满足=2，即，共线，充分性成立，若，共线，则k2=4，即k=2，即必要性不成立，故“k=2”是“，共
2、线”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键，比较基础2. 如图所示，是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质： “对0，1中任意的x1和x2，任意恒成立”的只有 （ ） A B C D参考答案：A略3. 已知函数，则不等式的解集为A B C D参考答案：D考点：函数综合，因为所以f(x)是偶函数。所以所以变形为：又所以f(x)在单调递增，在单调递减。所以等价于故答案为：D4. 定义在R上的函数满足为的导函数，已知函数的图象如右图所示.若两正数满足，则的取值范围是（ ）A B C D参考答案：B5. 已知函数其中，则的值为（
3、）A. B. C. D. 参考答案：A6. 已知集合，则AB=（ ）A BC D参考答案：D由题意得：， 故选：D7. 命题“”的否定是A. B. C. D. 参考答案：C8. 已知变量满足则2x+y的最大值是( )A3 B4 C5 D6参考答案：D9. 已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()A13 B15 C10 D15参考答案：A10. 若集合中只有一个元素，则( ) 参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量若A、B、C三点共线，则实数m= 参考答案：m=1；12. 已知双曲线 (a0，b0)的
4、一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的渐近线的方程为 ；该双曲线的离心率为参考答案：，【考点】双曲线的简单性质【分析】求出渐近线的斜率，得到双曲线的渐近线的方程，求出的值，e=，求出离心率【解答】解：一条渐近线的倾斜角为，渐近线的斜率为k=tan=，双曲线的渐近线的方程为y=x，=，e=，故答案为：，13. 已知等差数列的前n项和为，且，则_。参考答案：略14. 已知焦点在轴上的双曲线的左焦点为，右顶点为，若线段的垂直平分线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 参考答案：15. 在ABC中，当角A最大时，则ABC的面积为 参考答案：316. 设变量x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值
5、为 参考答案：2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：则z的几何意义为区域内的点P到定点D（1，1）的直线的斜率，由图象可知当直线过C点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大，由，解得，即A（0，1），此时AD的斜率z=2，故答案为：217. 已知点M是y=上一点，F为抛物线的焦点，A在C： 上，则|MA|+|MF|的最小值为_.参考答案：4略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分14分）已知正项数列的前项和为，且.（1）求的
6、值及数列的通项公式； （2）求证：；（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案：（1）由. 当时，解得或（舍去） 2分当时，由，则，是首项为2，公差为2的等差数列，故 4分另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)（2）证法一：，4分当时，. 7分当时，不等式左边显然成立. 8分证法二：，.4分当时，.7分当时，不等式左边显然成立. 8分（3）由，得，设，则不等式等价于.，9分 ，数列单调递增. 10分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 当为奇数时，得； 11分 当为偶数时，得，即. 12分综上，由是非零整数，知存在满足条件 14分
7、略19. （本小题满分12分）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p0）上。（1） 求抛物线E的方程；（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。参考答案：20. 现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P处，期间所花费的
8、时间记为X（1）求X30分钟的概率；（2）求X的分布列及EX的值参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（1）利用互斥事件概率加法公式能求出X30分钟的概率（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及EX的值解答：解：（1）X30分钟的概率：P（X30）=P（B）+P（AB）=（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，P（X=20）=P（B）=，P（X=30）=P（AB）=，P（X=50）=P（CB）=，P（X=60）=P（ABC）+P（CAB）=，X的分布列为：X2030
9、5060PEX=20+30+50+60=40（分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题21. 给定抛物线cy24x，是c的焦点，过点的直线l与c相交于，两点.()设l的斜率为，求与夹角的余弦值；()设，若4，9，求l在y轴上的截距的取值范围. 参考答案：解： ()的焦点为(，)，直线l的斜率为，所以l的方程为yx1.将yx1代入方程y24x，整理得x26x10.设(x1，y1)，(x2，y2)，则有x1x26，x1x21. .所以与的夹角的余弦值为-341()由题设得(x21，y2)(1x1，y1)，即由得 ， 联立、解得x2，依题意
10、有0. B(，)，或B(，)，又F(1，0)，得直线l方程为(1)y(x1)或(1)y(x1)，当，时，l在方程y轴上的截距为或，把看作函数，设g()，可知g()在，上是递减的(或用导数g()0，证明g()是减函数). ，即直线l在y轴上截距的变化范围为 .略22. 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点， （1）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值； （2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。参考答案： （2）联立方程，消去得，设， 则（），-8分是线段的中点，即，-10分得，若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，-11分略
