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1、湖南省长沙市道林镇联校高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知的图像如图所示，则的图像可能是（ ）A B C. D 参考答案：D由导函数图像可知，当时，函数单调递减，故排除，；由在上单调递减，在单调递增，因此当时，函数由极小值，故排除.故选D. 2. 集合，则等于（ ）参考答案：B考察对数函数值域的求法及集合运算。，故选B3. 命题“函数是偶函数”的否定可表示为（ ）A、 B、C、 D、参考答案：A4. 函数f(x)=sin2x-1是 (A) 周期为的奇函数 (B) 周期为的偶函数(C) 周
2、期为2的奇函数 (D) 周期为2的偶函数参考答案：B5. 已知集合，若，则实数a的取值集合为（ ）A1 B1,1 C1,0 D1,1,0参考答案：D集合M=x|x2=1=1，1，N=x|ax=1，N?M，当a=0时，N=?，成立；当a0时，N=，N?M，或=1解得a=1或a=1，综上，实数a的取值集合为1，1，0故选：D6. 三棱锥中，平面且是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面，积为( )A B4 C.8 D20参考答案：C根据已知中底面ABC是边长为的正三角形，PA平面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球ABC是边长为的正三角形，ABC的外接圆半
3、径 球心到ABC的外接圆圆心的距离d=1. 故球的半径 故三棱锥P-ABC外接球的表面积. 故选：C7. 函数f（x）=Asin（2x+）（|，A0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x1，x2a，b，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=，则（）Af（x）在（，）上是减函数Bf（x）在（，）上是增函数Cf（x）在（，）上是减函数Df（x）在（，）上是增函数参考答案：B【考点】正弦函数的图象【分析】根据题意，得出函数f（x）的最小正周期，且ba为半周期，再根据f（x1）=f（x2）时f（x1+x2）的值求出的值，从而写出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性【解答】解
4、：f（x）=Asin（2x+），函数最小正周期为T=；由图象得A=2，且f（a）=f（b）=0，?=ba，解得ba=；又x1，x2a，b，且f（x1）=f（x2）时，有f（x1+x2）=，sin2（x1+x2）+=，即2（x1+x2）+=，且sin（2?+）=1，即2?+=，解得=，f（x）=2sin（2x+）；令+2k2x+2k，kZ，+2k2x+2k，kZ，解得+kx+k，kZ，函数f（x）在区间+k， +k，kZ上是单调增函数，f（x）在区间（，）上是单调增函数故选：B8. 右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有（ ）A1个 B2
5、个 C3个 D4个参考答案：C9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，已知直角边长为2， 则这个几何体的体积为 （ ） A B C4 D8参考答案：A略10. 在平面直角坐标平面上，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )A B C D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是 。参考答案：12. 已知正四棱锥的底面边长为1，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为参
6、考答案：【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的面积公式解之即可【解答】解：正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记球心为O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R1，或OO1=1R（此时O在PO1的延长线上），在RtAO1O中，R2=+（R1）2得R=，球的表面积S=故答案为【点评】本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题13. 已知向量和的夹角为，则 .参考答案：1314. 中，、分别是角、的对边，若，则的值为_.参考答案：由正弦
7、定理可将转化为，经计算得，又为内角，可知，则，则.15. 定义一：对于一个函数（），若存在两条距离为的直线和，使得在时，恒成立，则称函数在内有一个宽度为的通道。定义二：若一个函数，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道。下列函数，其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是_参考答案：23516. 已知等比数列an的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，记数列log2an的前n项和为Tn，若a1，且=9，则当n= 时，Tn有最小值参考答案：11【考点】等比数列的前n项和 【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数
8、列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得Tn，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：q=1不满足条件，舍去=9，=1+q3=9，解得q=2，log2an=log2a1+（n1）Tn=nlog2a1+=+n，a1，log2a1log22016，log21949，=，1024=210194920162048=211，当n=11时，Tn取得最小值故答案为：11【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17. 已知平面向量=(3,1),=(x,?3),/,则x等
9、于 ;参考答案：?9略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设a0，a1为常数，函数f(x)loga(1)讨论函数f(x)在区间(，5)内的单调性，并给予证明；(2)设g(x)1loga(x3)，如果方程f(x)g(x)有实根，求实数a的取值范围参考答案：(1)设x1x25，则10(x2x1)0.若a1，则f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)，此时f(x)在(，5)内是增函数；若0a1，则f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，此时f(x)在(，5)内是减函数(2)由g(x)1loga(x3)及f(x)g(x)得1loga(x3)l
10、oga?a由?x5.令h(x)，则h(x)0.由(x5)12412，当且仅当?x52时等号成立0h(x)故所求a的取值范围是0a19. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.已知直线（为参数），曲线（为参数）.（1）设与相交于两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点 是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.参考答案：解（1）的普通方程为，的普通方程为.2分 联立方程组 解得与的交点为， 则.5分（2）的参数方程为（为参数），故点的坐标是，从而点到直线的距离是 ，8分由此当时，取得最小值，且最小值为.10分20. （本小题满分1
11、2分）已知函数，.（）求函数图象的对称轴方程；（）求函数的值域.参考答案：（）由题知， 3分所以，即， 6分（）由题知 10分所以的值域为. 12分21. (本小题满分14分）已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x0)为椭圆C上一点，MOF1的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由参考答案：22. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为边长为4的正方形，M是BC的中点，EF平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=
12、CF=（1）求证：ME平面ADE；（2）求二面角BAED的余弦值参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）取AD的中点N，连结NM，NE，推导出ADME，过E点，作EONM于O，推导出NEME，由此能证明ME面ADE（2）建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角BAED的余弦值【解答】证明：（1）取AD的中点N，连结NM，NE，则ADNM，ADNE，NMNE=N，AD平面NME，ADME，过E点，作EONM于O，根据题意得NO=1，OM=3，NE=2，OE=，EM=2，ENM是直角三角形，NEME，ME面ADE解：（2）如图建立空间直角坐标系Oxyz，根据题意得：A（2，1，0），B（2，3，0），D（2，1，0），E（0，0，），M（0，3，0），设平面BAE的法向量=（x，y，z），=（0，4，0），=（2，1，），取z=2，得=（，0，2），由（1）知=（0，3，）为平面ADE的法向量，设二面角BAED的平面角为，则cos=，
