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1、湖南省衡阳市 县汉中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立， 若，则的大小关系是A B C D参考答案：C2. 在平面直角坐标平面上，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )A B C D参考答案：C略3. （5分）（2014?东营二模）偶函数f（x）满足f（x1）=f（x+1），且在x0，1时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=在2，3上的根的个数是（） A 3 B 4 C 5 D 6参考答案：C【考点】： 根的存在性
2、及根的个数判断【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 首先，根据f（x+1）=f（x1），得到函数f（x）的周期为2，然后，在同一坐标系中画出在2，3上，函数y=f（x）和y=的简图，根据图象，容易得到结果解：f（x+1）=f（x1），f（x+2）=f（x），函数f（x）的周期为2，在2，3上，函数y=f（x）和y=的简图：根据图象，知关于x的方程f（x）=在2，3上根的个数是5故选：C【点评】： 本题重点考查了偶函数的性质、周期函数的概念、函数的基本性质等知识，属于中档题4. 下面命题中正确的是()若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面
3、平行，则这两个平面平行；若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行A B C D参考答案：D5. 函数f1（x）x3，f2（x），f3（x），f4（x）|sin（2x）|，等差数列an中，a10，a20151，bn|fk（an1）fk（an）|（k1，2，3，4），用Pk表示数列bn的前2014项的和，则（ ）A.P41P1P2P32 B.P41P1P2P32C.P41P1P2P32 D.P41P1P2P32参考答案：A6. 若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比
4、数列，则 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9参考答案：D7. 从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A B C. D参考答案：A8. 已知，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】由，则，再利用三角函数的诱导公司和三角函数的基本关系式，即可得到答案.【详解】因为，则，再利用三角函数的诱导公司和三角函数的基本关系式，可得，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9. 设集合,则
5、ABA B C D 参考答案：B10. 如图是函数在一个周期内的图像，M、N分别是最大、最小值点，且，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D） 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 圆心在直线上的圆C与轴交于两点、，则圆C的方程为_.参考答案： 直线AB的中垂线方程为，代入，得，故圆心的坐标为，再由两点间的距离公式求得半径， 圆C的方程为12. 在集合A=中任取一点P，则点P恰好取自曲线与坐标轴围成的区域内的概率为_参考答案：13. 如图所示的算法流程图中,若则的值等于 . 参考答案：914. 已知复数z=a（1+i）2为纯虚数，则实数a= 参考答案：2【考
6、点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数z=a（1+i）2=a2+ai为纯虚数，a2=0，a0，则实数a=2故答案为：215. 椭圆(为参数)的离心率是 .参考答案：16. 设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，则- 参考答案：【知识点】函数的周期性 B4【答案解析】 解析：解：设0x2，则2x0，f（x）=ax+b，f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，所以f（x）=f（x）=ax+1=ax+b，b=1，而f（2）=f（2），2a+1=2a1，即a=，所以f（2015）=f（1）=故答案为：【思路点拨】先根据奇偶性求出b，然后根据周期性可求出a的值，从而可
7、求出f（2015）的值17. （不等式选做题）若关于的不等式恰好有三个整数解，则实数的取值范围是.参考答案：.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=，（其中常数a0）（）当a=1时，求曲线在（0，f（0）处的切线方程；（）若存在实数x（a，2使得不等式f（x）e2成立，求a的取值范围参考答案：解：（）当a=1时，f（0）=1，f（0）=2，曲线在（0，f（0）处的切线方程为：2x+y+1=0；（）函数的定义域x|xa由f（x）=，得，令f（x）=0，得x=a+1，当x（，a），（a，a+1）时，f（x）0f（x）在（，a），（a
8、，a+1）递减，在（a+1，+）递增若存在实数x（a，2使不等式f（x）e2成立，只需在（a，2上成立，若a+12，即0a1时，a+12，即a1，0a1；若a+12，即1a2，解得a1，又1a2，a?略19. 已知动圆P与直线相切且与圆外切。（1）求圆心P的轨迹C的方程；（2）设第一象限内的点S在轨迹C上，若x轴上两点，满足且SA=SB.延长SA、SB分别交轨迹C于M、N两点，若直线MN的斜率，求点S的坐标.参考答案：设动圆的半径为，则圆心到直线的距离，且，故圆心到直线的距离为，由抛物线的定义知，圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故轨迹的方程为.（另法：设动圆的半径为，圆心为，则，化简
9、得）4分（2）设，由，得，的斜率和的斜率均存在，且互为相反数。5分设的斜率为，则直线，6分联立得，7分故，即（*），9分由于的斜率为，将（*）中的换成，得到点的纵坐标，10分故直线的斜率，11分故，此时，时，所以点的坐标为12分20. (本小题满分12分)已知函数(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；(3)设为正实数，且，求证：参考答案：解: （） 由题意知，代入得，经检验，符合题意。从而切线斜率，切点为，Ks5u切线方程为（） 因为上为单调增函数，所以上恒成立.所以的取值范围是 （）要证，只需证，即证只需证 由（）知上是单调增函数，又，所
10、以，即成立所以 。略21. （本小题满分15分）已知椭圆椭圆：.定义圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于另一点.求证：为定值.参考答案：解：（）。椭圆方程为，2分准圆方程为. 4分（）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆有一个公共点的直线为，所以由消去，得.因为椭圆与只有一个公共点，所以，解得. 7分所以方程为. 8分当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此
11、时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直. 10分当都有斜率时，设点，其中.设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则消去，得.由化简整理得：.12分因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直. 14分综合知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4. 15分22. 如图，AB是O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F求证：（1）DEA=DFA；（2）AB2=BE?BDAE?AC参考答案：考点：与圆有关的比例线段
12、专题：证明题；压轴题分析：（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD?BE=BA?BF，再利用ABCAEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE?BDAE?AC解答：证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以ADB=90，又EFAB，AFE=90，则A，D，E，F四点共圆DEA=DFA（2）由（1）知，BD?BE=BA?BF，又ABCAEF，即AB?AF=AE?ACBE?BDAE?AC=BA?BFAB?AF=AB?（BFAF）=AB2点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题
