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1、北京第三十七中学电子技术职业高级中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线，分别交双曲线的左、右支于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：D点睛：解答本题时，充分利用题设中的条件与双曲线的对称性构造平行四边形，先运用余弦定理，求出，再借助平行四边形的几何性质建立方程，建立关于离心率的方程，从而使得问题获解。2. 已知直线，平面，且，给出四个命题： 若，则； 若，则；若，则lm； 若lm
2、，则其中真命题的个数是A4 B3 C2D1参考答案：C略3. 已知，那么=（ ）A B C D参考答案：B略4. 平面上O,A,B三点不共线，设，则的面积等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：C5. 要得到函数的图像，只需将的图像（ ）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D. 向右平移个单位参考答案：A6. 若函数f(x)=在区间上有极值点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案：C7. 在中，则（ ） A-9 B0 C9 D15参考答案：C8. 设A，B为两个不相等的集合，条件p：x?(AB)， 条件q：x?(AB)，则p是q的（ ）（A）充分不
3、必要条件 （B）充要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：C 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2解析：当xA，且x?（AB），满足x（AB），即充分性不成立，若x?（AB，则x?（AB），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C【思路点拨】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可9. 已知点在直线上运动，则的最小值为（ ）ABCD参考答案：A10. 的展开式中的系数是 A18 B14 C10 D6参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数f（x）=2x3，且f（m+1）=5，则m= 参考答案：2
4、【考点】函数的值【分析】由题意得2m+13=5，由此能求出m的值【解答】解：f（x）=2x3，且f（m+1）=5，2m+13=5，解得m=2故答案为：212. 设则从小到大的关系为（ ）。参考答案：13. 椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是 .参考答案：3a214. 已知f（sin+cos）=sin2，则的值为参考答案：略15. 已知幂函数yf(x)的图像经过点，则f(2)_参考答案：16. （理）已知集合，若，则实数的取值范围是 参考答案：略17. 椭圆C： +=1（ab0）的上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C的标
5、准方程是参考答案：+=1【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得椭圆的焦点在x轴上，再结合椭圆的定义可得2a=4，2c=2，即可得a、c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆方程可得答案【解答】解：根据题意，椭圆C的方程为： +=1（ab0），其焦点在x轴上，又由其上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则有2a=4，2c=2；即a=2，c=1，则有b2=a2c2=3；则椭圆的方程为： +=1；故答案为： +=1【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是掌握椭圆的定义三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.
6、（本小题满分12分）设分别是椭圆：的左、右焦点，过倾斜角为的直线与该椭圆相交于P，两点，且.（）求该椭圆的离心率；（）设点满足，求该椭圆的方程。参考答案：解：（）直线斜率为1，设直线的方程为，其中.2分设，则两点坐标满足方程组化简得，则，因为，所以.6分得，故，所以椭圆的离心率. 8分（）设的中点为，由（1）知由得. 10分即，得，从而.故椭圆的方程为12分略19. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明：.参考答案：（1）由题意，又，所以，因此在点处的切线方程为，即（2）证明：因为，所以由于等价于，令，设函数当时，所以，所以在上是单调递增函数，又，所以，所以.20. (本题满
7、分13分)设椭圆: 过，两点，其中为椭圆的离心率，为坐标原点.（I）求椭圆的方程；（II）过椭圆右焦点的一条直线与椭圆交于两点，若，求弦的长.参考答案：（1） .6分（2）因为，得 .7分若直线斜率不存在时直线方程为此时A（2，），B（2，）不满足 .8分若直线斜率存在时不妨设直线方程为，A，B联立又 .11分 .13分21. （本小题满分14分）已知平行四边形，为的中点，把三角形沿折起至位置，使得，是线段的中点（1）求证：；（2）求证：面面；（3）求二面角的正切值 参考答案：（1）见解析；(2) 见解析；（3）【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定G4
8、G5 G7解析：(1)证明：取的中点，连接, 为中点，且 , 为平行四边形边的中点，且 ，且四边形是平行四边形,平面，平面 平面4分（3） 取的中点，连接，为的中点为等边三角形，即折叠后也为等边三角形，且在中，根据余弦定理，可得在中，即又，所以又面面10分（3）过作于，连接,又,是二面角的平面角在中，故所以二面角的正切值为14分【思路点拨】（1）取DA1的中点G，连接FG、GE，通过证明BFEG，利用直线与平面平行的判定定理证明BF平面A1DE（2）取DE的中点H，连接A1H、CH，通过证明A1H面DEBC，然后通过平面与平面垂直的判定定理证明面A1DE面DEBC（3）利用（2）的结果，直接求
9、解几何体的体积即可22. 已知a为常数，函数f（x）=x2+axlnx，g（x）=ex（其中e是自然数对数的底数）（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1上是单调函数，求a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）先对函数求导，f（x）=2x+a，可得切线的斜率k=2x0+a=，即x02+lnx01=0，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx1在（0，+）上是增函数，可证（2）由F（x）=，求出函数F（x）的导数，通过研究2a的正负可判断h（x）的单调性，进
10、而可得函数F（x）的单调性，可求a的范围【解答】解：（1）f（x）=2x+a（x0），过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a=，整理得x02+lnx01=0，显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx1在（0，+）上是增函数，所以方程x2+lnx1=0有唯一实数解故x0=1；（2）F（x）=，F（x）=，设h（x）=x2+（2a）x+a+lnx，则h（x）=2x+2a，易知h（x）在（0，1上是减函数，从而h（x）h（1）=2a；当2a0，即a2时，h（x）0，h（x）在区间（0，1）上是增函数h（1）=0，h（x）0在（0，1上恒成立，即F（x）0在（0，1上恒成立F（x）在区间（0，1上是减函数所以，a2满足题意； 当2a0，即a2时，设函数h（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；又h（1）=0，h（x0）0又h（ea）=e2a+（2a）ea+aea+lnea0，h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x，当x（0，x）时，h（x）0，当x（x，1）时，h（x）0从而F（x）在（0，x）递减，在（x，1）递增，与在区间（0，1上是单调函数矛盾a2不合题意综合得，a2
