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1、上海海运学校高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设复数，若为纯虚数，则实数（ ） A B. C D 参考答案：D2. 正项等比数列an中，存在两项使得，且a7=a6+2a5，则的最小值是（）ABCD参考答案：A【考点】等比数列的通项公式；基本不等式 【专题】等差数列与等比数列【分析】设正项等比数列的公式为q，已知等式a7=a6+2a5两边除以a5，利用等比数列的性质化简求出q的值，利用等比数列的通项公式表示出am与an，代入已知等式=4a1，求出m+n=6，将所求式子变形后，利用基本不等式即可求出
2、所求式子的最小值【解答】解：正项等比数列an中，设公比为q，a7=a6+2a5，=+，即q2q2=0，解得：q=2或q=1（舍去），am=a12m1，an=a12n1，=4a1，aman=a122m+n2=16a12，即m+n2=4，m+n=6，列举（m，n）=（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）即有+=2，2，5当m=2，n=4，+的最小值为故选A【点评】此题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握通项公式是解本题的关键3. 已知，若不等式恒成立，则的最大值等于（ ）A.10 B.9 C.8 D.7参考答案：B略4. 已知为单位向量，且与
3、垂直，则的夹角为（）A30B60C120D150参考答案：C【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，即可求出对应的结果【解答】解：设与的夹角为，由为单位向量，且与垂直，则?（+2）=+2?=12+211cos=0，解得cos=；又0，120，的夹角为=120故选：C5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则参考答案：D6. 设向量，则下列结论中正确的是（ ）A、 B、 C、与垂直 D、参考答案：C 7. 已知F1，F2是双曲线的左右焦点，若在右支上存在点A使得点F2到直线 AF1的距离为2
4、a，则离心率e的取值范围是（ ）A B C D 参考答案：B设 ，所以 选B.8. 命题“”的否定是（ ） AB CD参考答案：D略9. 如图所示，函数f（x）=sin（x+）（0，|）的部分图象，已知x1，x2（，），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=( )A1BCD参考答案：D考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：根据函数图象求出函数的解析式，结合三角函数的对称性求出函数的对称轴即可得到结论解答：解：由图象知函数的周期T=2（）=2=，即=，解得=2，则f（x）=sin（2x+），由五点法知2+=，解得=，即f（x）=sin（2x+），由2x+=，解得x=，即x
5、=是函数的一条对称轴，x1，x2（，），且f（x1）=f（x2），x1，x2关于x=对称，则x1+x2=2=，则f（x1+x2）=f（）=sin（2+）=sin=sin=，故选：D点评：本题主要考查三角函数的性质是应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键10. 如图，是函数y=f（x）的导函数f（x）的图象，则下面判断正确的是( )A在区间（2，1）上f（x）是增函数B在（1，3）上f（x）是减函数C在（4，5）上f（x）是增函数D当x=4时，f（x）取极大值参考答案：C【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性【专题】计算题【分析】由于f（x）0?函数f（x）d单调递增；f（x）
6、0?单调f（x）单调递减，观察f（x）的图象可知，通过观察f（x）的符号判定函数的单调性即可【解答】解：由于f（x）0?函数f（x）d单调递增；f（x）0?单调f（x）单调递减观察f（x）的图象可知，当x（2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误当x（1，3）时，函数先增后减，故B错误当x（4，5）时函数递增，故C正确由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误故选：C【点评】本题主要考查了导数的应用：通过导数的符号判定函数单调性，要注意不能直接看导函数的单调性，而是通过导函数的正负判定原函数的单调性二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙
7、三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为参考答案：略12. 如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为参考答案：10【考点】5D：函数模型的选择与应用【分析】作DEAB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD0，AE0，CD0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值【解答】解：如图，作DEAB于E，连接BD因为AB为直径，所以ADB=90在RtADB与RtAED中
8、，ADB=90=AED，BAD=DAE，所以RtADBRtAED所以=，即AE=又AD=x，AB=4，所以AE=所以CD=AB2AE=4，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4+x=x2+2x+8由于AD0，AE0，CD0，所以x0，0，40，解得0x2，故所求的函数为y=x2+2x+8（0x2）y=x2+2x+8=（x2）2+10，又0x2，所以，当x=2时，y有最大值1013. 在平面直角坐标系xOy中，A（12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上，若，则点P的横坐标的取值范围是 .参考答案：，1设P(x，y)，由，易得2xy+50，由，可得或，由2xy+50表示的平面
9、区域，及P点在圆上，可得点P横坐标的取值范围为，1.14. 在ABC中三边之比a:b:c=2:3:,则ABC中最大角= 。参考答案：15. 若实数a、b、c成等差数列，点P(1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是_.参考答案：略16. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点点在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点所构成的轨迹的周长等于 参考答案：略17. 某几何体三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得该几何体的体积是 （V柱体=Sh）参考答案：6cm3考点：由三视图求面
10、积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的大长方体挖去一个小长方体所得组合体，分别计算底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的大长方体挖去一个小长方体所得组合体，其底面面积S=2211=3cm2，高h=2cm，故柱体的体积V柱体=Sh=6cm3，故答案为：6cm3点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若对任意且，有恒成立
11、，求实数的取值范围.参考答案：（1）时，在上递增，时，在上递减，在上递增，时，在上递减，在上递增；（2）当时，不符合题意；当时，由得，得，所以在上递减，在上递增，所以，即10分当时，在上，都有，所以在上递减，即在上也单调递减综上，实数的取值范围为12分考点：导数与单调性【名师点睛】求函数的单调区间的“两个”方法(1)方法一：确定函数yf(x)的定义域；求导数yf(x)；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间(2)方法二：确定函数yf(x)的定义域；求导数yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数
12、f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.19. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（）求曲线C1的方程；（）设P(x0,y0)（y03）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=4
13、上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.参考答案：（）解法1 ：设M的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为.解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.（）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是整理得 设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根，故 由得 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以 同理可得 于是由，三式得.所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.20. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为24（）求C的参数方程；（）若点P（x，y）在曲线C上，求x+y的最大值和最小值参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：（）直接根据极坐标
