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1、广东省中山市民众镇民众中学2022-2023学年高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则等于（ ） （A） （B）（C） （D）参考答案：答案：D解析：依题意，为首项为2，公比为8的前n4项求和，根据等比数列的求和公式可得D2. 已知光线沿向量（，）照射，遇到直线l后反射，其中是直线l的一个方向向量，是直线l的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据入射角等于反射角的性质作图即得。【详解】不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图
2、中，则向量时，向量.故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性表示以及光线反射问题，是常考题型。3. 若双曲线C：的一条渐近线方程为，则m=（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.4. 以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量，则概率等于 （ ）A BC D参考答案：B5. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到渐近线的距离为，则的方程为ABCD参考答案：A6. 设，集合，则下列结论正确的是（ ）A B C D 参考答案：D7. (
3、 ) A BC D参考答案：答案：B 8. 设函数满足，则时，（ ）A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极大值，又有极小值 D既无极大值，也无极小值参考答案：D略9. 某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（）A330种B420种C510种D600种参考答案：A【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】分类讨论，利用排列组合知识，即可得出结论【解答】解：由题意，若都选1门，有=60种；若有1人选2门，则有=180种，若有2人选2门，则有=90种，故共有60+180+90=330种，故选：A【点
4、评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查排列组合知识的运用，属于中档题10. 点在函数的图象上，且角的终边所在直线过点，则（ ） A B C-3 D参考答案：C试题分析：因为在函数的图象上，即得，故，故选C.考点：（1）对数函数的性质；（2）正切函数的定义.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n= 参考答案：4【考点】不定方程和方程组【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换【分析】由已知得到，由此能求出m+n的值【解答】解：增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，解得m=2，n=2，m+n=4故答案为：4【点评】本题考查代数式的
5、值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵解方程组的性质的合理运用12. 函数 y=的定义域为 参考答案：0，1）（1，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】求该函数的定义域，直接让x0，且x10，求解x即可【解答】解：由x0，x10得：x0，且x1所以原函数的定义域为0，1）（1，+）故答案为：0，1）（1，+）【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，分母不能为0，属基础题13. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点(1,2)，则 参考答案：由题意得，所以14. 已知向量，若向量与共线，则实数 ；若向量在方向上的投影为3，则
6、实数 参考答案： , 15. 已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为 参考答案：2【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线=1的一条渐近线方程为y=x，可得=，即，解得e=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力16. 若，在极坐标系中，直线与曲线相切，则实数 .参考答案：217. 已知函数则的值为 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知等差数列，满足，（）求数列的通项；（）令（），求数列
7、的前n项和参考答案：（1）（2）略19. （本小题满分12分）已知向量，定义.（I）求的最大值及对应的x值；（II）若在上，关于x的方程有两个不同的实数解，求实数m的取值范围. 参考答案：略20. 已知椭圆系方程：(，)，F1、F2是椭圆的焦点，A是椭圆上一点，且（1）求的离心率并求出的方程；（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值参考答案：（1）椭圆的方程为： 即：，又即：又,椭圆的方程为： ， 椭圆的方程为：； （5分） （2）解法（一）：设，则当直线l斜率存在时，设l为：,则，由联立得：由得 到直线的距离 同理
8、，由联立得：，（8分） 当直线l斜率不存在时，易知，的面积为定值 （12分）解法（二）：设，由（1）得为：，过且与椭圆相切的直线l：且点关于原点对称点，点到直线l的距离 （7分）设，由得 ，（8分）的面积为（定值）当时，易知，综上：的面积为定值 （12分）21. 设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：.参考答案：解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），由题意可得故（）由（）知，从而等价于，设函数，则当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为设函数，则当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为综上，当时，即略22. （本小题满分12分）
9、某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户每月的碳排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.（1）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（2）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？参考答案：解：（）设三个“非低碳小区”为，两个“低碳小区”为 用表示选定的两个小区，则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是，, ,，. 3分用表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则中的结果有6个，它们是：，, ，,. 故所求概率为. 6分（II）由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”. 8分由图2可知，三个月后的低碳族的比例为，所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准. 12分
