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1、湖北省黄冈市北丰中学高一数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，采用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象.将480名学生随机从1480编号，按编号顺序平均分成30组(116号，1732号，465480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是（）A. 25B. 133C. 117D. 88参考答案：C根据系统抽样样本编号的确定方法进行求解，因为第1组抽出的号码为5，分组间隔为16，所以第8组应抽出的号码是(8-1)
2、16+5=117。选C。点睛：系统抽样则主要考查分组数和由第一组中抽取的样本推算其他各组应抽取的样本，即等距离的特性，解题的关键是的关键是掌握系统抽样的原理及步骤。2. （4分）在数列an中，an+1=an+2，且a1=1，则a4等于（）A8B6C9D7参考答案：考点：数列的概念及简单表示法 专题：等差数列与等比数列分析：由条件an+1=an+2，得an+1an=2，得到数列an是等差数列，然后利用等差数列的性质去判断解答：因为an+1=an+2，所以an+1an=2，所以数列an是公差d=2的等差数列，首项a1=1，所以a4=a1+3d=1+32=7，故选D点评：本题主要考查等差数列的判断以
3、及应用，利用条件转化为等差数列的形式，是解决本题的关键3. 直线3x+4y-13=0与圆的位置关系是：（ ）A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定.参考答案：C4. 若，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 如图，四边形ABCD中，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（ ）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面参考答案：B【分析】由题意推出CDAB，ADAB，从而得到AB平面ADC，又AB?平面ABC，可得平面ABC平面ADC【详解】在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BA
4、D90，BDCD又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD. 故CD平面ABD，则CDAB，又ADAB，CDAD=D，AB平面ADC，又AB?平面ABC，平面ABC平面ADC故选：B【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定和性质定理，考查逻辑思维能力，属于中档题6. 函数f（x）=x+lnx2的零点所在区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由题意，函数f（x）=x+lnx2在定义域上单调递增，再求端点函数值即可【解答】解：函数f（x）=x+lnx2在定义域上单调递增，f（1）=
5、120，f（2）=2+ln220，故函数f（x）=x+lnx2的零点所在区间是（1，2）；故选B【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题7. 下列各式的值等于的是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C8. 函数 f（x）=3x+x5，则函数 f（x）的零点一定在区间（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据函数零点存在定理，若f（x）=3x+x5若在区间（a，b）上存在零点，则f（a）?f（b）0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案【解答】解：当x=1时，f（
6、1）=31+15=10当x=2时，f（2）=32+25=60即f（1）?f（2）0又函数f（x）=3x+x5为连续函数故函数f（x）=3x+x5的零点一定位于区间（1，2）故选B【点评】本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：解方程；利用零点存在定理；利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理9. 下列命题：第一象限的角是锐角正切函数在定义域内是增函数正确的个数是（）A0B1C2D3参考答案：A考点：命题的真假判断与应用专题：探究型分析：根据第一象限角和锐角的定义判断利用正切函数的图象和性质判断利用反三角函数的定义判断解答：解：因为锐
7、角的范围是090而第一象限角的范围是k360k360+90，z，所以错误正切函数的单调增区间为，但在整个定义域上，正切函数不单调，所以错误根据反三角函数的定义可知，函数y=arcsinx的定义域为（1，1）因为，所以错误故正确的个数是0个故选A点评：本题主要考查命题的真假判断，比较基础10. 已知函数，若为奇函数，则= 。参考答案：略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 圆O1：（x2）2+（y+3）2=4与圆O2：（x+1）2+（y1）2=9的公切线有 条参考答案：3【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】判断两个圆的位置关系，即可判断公切线的条数【解答】解：两圆O1：（
8、x2）2+（y+3）2=4与圆O2：（x+1）2+（y1）2=9的圆心距为： =5两个圆的半径和为：5，两个圆外切公切线有3条故答案为：312. . 参考答案：略13. 设集合A=1，0，1，2，3，B=x|x22x0，则AB= 参考答案：1，3【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即B=x|x0或x2，A=1，0，1，2，3，AB=1，3，故答案为：1，3【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键14. 已知sinx2cosx，
9、则sin2x1_.参考答案：略15. 在ABC中，已知BAC=60，ABC=45，BC=，则AC= 参考答案：16. 已知集合，则的取值范围是_参考答案：17. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为 参考答案：36三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知向量.（1）若ABC为直角三角形，且为直角，求实数的值.（2）若点A，B，C能构成三角形，求实数应满足的条件.参考答案：解：（1）为直角三角形，即（2）点能能构成三角形，则不共线，即与不共线实数应满足的条件是19. 已知ABC为等边角形，.点N，M满足，.设.(1
10、)试用向量和表示;(2)若,求的值.参考答案：(1) ； ；(2) .【分析】（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于的方程，解方程求得结果.【详解】（1）（2）为等边三角形且 ，即：，解得：【点睛】本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.20. 已知=2（1）求tan；（2）求cos（）?cos（+）的值参考答案：【考点】三角函数的化简求值【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得tan的值（2）利用同角三
11、角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：（1）已知=2=，tan=5（2）cos（）?cos（+）=sin?（cos）=21. （本小题满分12分）现在要在一块半径为1 m，圆心角为60的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，MNPQ的面积为S. （I）求S关于的函数关系式；（）求S的最大值及相应的值参考答案：(20)解：(1)分别过点P、Q作PDOB，QEOB，垂足分别为D、E，则四边形QEDP是矩形PDsin，ODcos.在RtOEQ中，AOB，则OEQEPD3分所以MNPQDEODOEcossin.则SMN
12、PD(cossin)sinsincossin2，(0，) 6分(2)Ssin2(1cos2)sin2cos2sin(2)8分因为0，所以2，所以sin(2)1. 10分所以当2，即时，S的值最大为 m2.即S的最大值是 m2，相应的值是12分略22. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道（三条边，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上，已知米，米，记.(1)试将污水净化管道的总长度L（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.参考答案：（1），； （2）或时，L取得最大值为米.【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明的范围（2）设sin+cos=t，根据函数 L= 在，上是单调减函数，可求得L的最大值所以当时，即或时，L取得最大值为米【详解】由题意可得，由于，所以，即，设，则，由于，由于在上是单调减函数，当时，即或时，L取得最大值为米【点睛】三角函数值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域3.通过换元，转化成其他类型函数求值域
