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1、江苏省盐城市东台南沈灶中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. sin182cos28cos2sin28的值为（）ABCD参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可【解答】解：sin182cos28cos2sin28=sin2cos28cos2sin28=sin30=故选：B【点评】本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，考查计算能力2. 凸多边形各内角依次成等差数列，其中
2、最小角为120，公差为5，则边数等于（ ）A16 B9 C16或9 D12 参考答案：B3. 已知关于的方程在有且仅有两根，记为，则下列的四个命题正确的是（ ）A B C D参考答案：C略4. 已知在上有最小值，则实数t的取值范围可以是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】根据x的范围，可求出的范围，结合的图像与性质，即可求解。【详解】因为，所以，因为有最小值，结合的图像与性质可得，即，故t的范围可以是，故选D【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查分析推理的能力，属基础题5. 的内角满足条件：且，则角的取值范围是（ ）A. B. C. D.参考答案：C6. 在双曲线-中设ba0
3、，直线过点A(a,0)和B(0,b)，原点到直线的距离为(c为半焦距).则双曲线的离心率为 ()A.B.2或C. D.2参考答案：答案:D 7. 已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （A）（B）（C）（D）参考答案：答案：D解析:正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2, 正方体的对角线的长为4，棱长等于，选D8. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）. ks5uA.14 B.24 C.28 D.48参考答案：A9. 设直线与曲线的三个交点分别为、，且.现给出如下结论：的取值范围是(0,4)；为定值；有最小
4、值无最大值.其中正确结论的个数为（ ）A0 B1 C2 D3参考答案：C10. 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）参考答案：CA(0,0,0),E(4,3,12),(8,6,0),(,7,4),(11,9),，,二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，且，则 。参考答案：12. 计算：= 参考答案：813. 在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为_.参考答
5、案：36略14. 某个容量为的样本的频率分布直方图如左下，则在区间上的数据的频数为 参考答案：15. 设，若，则 。参考答案：16. 已知，且是第二象限角，则_.参考答案：【分析】根据诱导公式可以得到的值，结合为第二象限角得到的值，最后利用二倍角的正弦得到要求的正弦值.【详解】由题设有，因为是第二象限角，所以，故.【点睛】（1）与的三角函数的关系是“函数名不变，符号看象限”；（2）的三个三角函数值只要知道其中一个，就可以求出另外两个，求值时要关注角的终边的位置.17. 定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“的相关函数”。有下列关于“的相关函数
6、”的结论：（1）是常值函数中唯一一个“的相关函数”;(2)是一个“的相关函数”；（3）“的相关函数”至少有一个零点。其中结论正确的是_参考答案：(3)_.略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）如图，是直二面角，四边形为菱形，且，是的中点，设与平面所成的角为.（1）求证：平面；（2）试问在线段（不包括端点）上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由.参考答案：（1）证明：是直二面角，平面PAD平面ABCD=AD又, -.2分 .3分 连接AC.4分 又, .6分（2）法一(几何法)：假设存在，
7、由（1）知,过点A作由三垂线定理知 .8分为二面角的平面角为45.9分等腰中, 等边，中，令 .10分由等面积法， 知.12分解得 所以不存在这样点P . .14分法二（向量法）：由（1）知，两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为轴建立空间直角坐标系A-xyz .7分 知为与平面所成角 .8分 设（ .9分设平面的一个法向量为 平面的一个法向量.11分.12分解得所以不存在这样点P .14分19. 已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为.（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为.证明：为定值，并求该定值
8、.参考答案：（1）依题意得.，故的方程为.由得，又，所示切线的方程为，即.（2）设（，且），则的横坐标为，.（法一）由题可知，与联立可得，所以，则为定值.（法二），为定值.20. 如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，且，.（）求证：MN平面BEC；（）求三棱锥的体积.参考答案：解：（）证明：过作交于，连接因为，所以 2分又，所以故，4分所以四边形为平行四边形，故，5分而平面，平面，所以平面；6分（）因为平面，所以：12分21. 已知函数且a0）（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值参考答案：（
9、1）；（2）.【分析】（1）由题意可知，由此能求出曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（2）当a-1时，求出，解得，不成立；当a=-1时，0在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）单调递减f（x）无极小值；当-1a0时，极小值f（1）=-a-4，由题意可得，求出；当a0时，极小值f（1）=-a-4由此能求出a的值【详解】（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（aR，且a0）由题意可知 曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 （）当a-1时，x变化时变化情况如下表：x1（1，+）-0+0-f（x）极小值极大值此时，解得，故不成立当a=-1时，0在（0，+）上恒成立，所以f（x）在（0，+）单调递减此时f（x）无极小值，故不成立当-1a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）极小值极大值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或因为-1a0，所以当a0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）-0+f（x）极小值此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或，故不成立综上所述22. (本小题满分12分)已知向量在区间 （1，1）上是增函数，求t的取值范围参考答案：解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（1，1）上恒成立解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，
