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1、2022年黑龙江省哈尔滨市幸福中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数是奇函数，且f(x)的最小正周期为，将y= f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x).若，则A. 2B. C. D. 2参考答案：C【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可。【详解】为奇函数，可知，由可得；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，由的最小正周期为可得，由，可得，所以，.故选C.2. 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1、l
2、2,直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10参考答案：A3. ，则点的轨迹一定过的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心参考答案：B略4. 函数f（x）=的图象大致为（）ABCD参考答案：A【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除
3、B，A选项符合，故选A【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值5. 已知非零平面向量,“”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：C因为，平方：，展开，合并同类项，得：，所以，。6. 函数y= f（x）的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的3倍，再将横坐标缩小为原来的，再将图象向右平移个单位，可得y=cosx,则原来的函数为 （ ）A y=cos() B y=cos() C y=3cos() D y=cos()参考答案：A略7. 将函数R的图象向左平移个单位长度后得到函数，则函数 A是奇
4、函数 B是偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数，也不是偶函数 参考答案：B8. 已知m0，则“m=3”是“椭圆=1的焦距为4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】通过讨论焦点的位置，得到关于m的方程，求出对应的m的值，根据充分必要条件的定义判断即可【详解】解：2c=4，c=2，若焦点在x轴上，则c2=m2-5=4，又m0，m=3，若焦点在y轴上，则c2=5-m2=4，m0，m=1，故“m=3”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题9. 在中，若的对
5、边边长分别为，则等于 （ ）A B C D或参考答案：D10. 已知，则下列函数的图象错误的是 参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是增函数，则a的取值范围是参考答案：（，1【考点】指数函数单调性的应用 【专题】综合题【分析】由题意，复合函数f（x）在区间1，+）上是增函数可得出内层函数t=|xa|在区间1，+）上是增函数，又绝对值函数t=|xa|在区间a，+）上是增函数，可得出1，+）?a，+），比较区间端点即可得出a的取值范围【解答】解：因为函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在
6、区间1，+）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|xa|在区间1，+）上是增函数又t=|xa|在区间a，+）上是增函数所以1，+）?a，+），故有a1故答案为（，1【点评】本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型12. 已知函数f（x）=asinxcosxsin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为 参考答案：1【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a
7、值，再求三角函数的最值【解答】解：f（x）=，是对称轴，f（0）=f（），最大值为1故答案为113. 在球心为，体积为的球体表面上两点、之间的球面距离为，则的大小为 . 参考答案：略14. 若复数（i为虚数单位是纯虚数，则实数的值为 参考答案：-2略15. 函数的图像在点处的切线方程为，则 .参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】3 切线方程是y=x+1，则直线的斜率k=，根据导数的几何意义得：f（1）=,f(1)= 故答案为：3.【思路点拨】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f（1）即可16. 设分别是曲线为参数）和上的动点，则两点的最小距离为 参考答案：17. 给出下列四个
8、结论：“若则”的逆否命题为真；若为的极值，则； 函数（x）有3个零点；对于任意实数x，有且x0时,，则x0时.其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，底面为菱形，,且，平面，底面.（）求二面角的大小；（）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由.参考答案：.解：（I）设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，设，则，设则，2分 解得，4分，设平面的法向量为，则，令，6分又平面的法向量为所以所求二面角的大小为8分（）设得10分，解得
9、，存在点使面此时12分略19. （本小题满分12分）已知函数.（1）写出的单调区间；（2）解不等式； （3）设，求在上的最大值.参考答案：解（1）：2的单调递增区间是； 单调递减区间是. 4 解（2）：不等式的解集为 8 （3）解：（1）当时，是上的增函数，此时在上的最大值是 10（2）当时，在上是增函数，在上是减函数，此时在上的最大值是； 综上，当时，在上的最大值是；当时，在上的最大值是。 12略20. （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且. （）若点为上一点且，证明：平面；（）求二面角的大小；（）在线段上是否存在一点，使得? 若存在，求出的长；若不存在，说明理由.参考
10、答案：见解析【考点】空间的角平面法向量的求法平行【试题解析】 解：（）过点作，交于,连接,因为，所以.又，所以.所以为平行四边形, 所以.又平面，平面,（一个都没写的，则这1分不给）所以平面. （）因为梯形中，,所以.因为平面，所以,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,因为所以，即，取得到,同理可得,所以,因为二面角为锐角，所以二面角为.（）假设存在点，设，所以,所以，解得,所以存在点，且.21. 设关于x的一元二次方程x-x+1=0(nN)有两根和， 且满足6-2+6=3（2）试用表示a；（3）求证：数列是等比数列；（4）当时，求数列的通项公式。参考答案：解：（1）根据韦达定理，得+=，?=,由6-2+6=3得 4分（2）证明：因为 13分22. （本小题满分12分）如图，已知平行四边形与直角梯形所在的平面互相垂直，其中,为的中点。 （1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角（锐角）的余弦值。参考答案：
