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1、2022-2023学年湖南省长沙市东城镇东城中学高一数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x1时，f（x）=3x1，则有（）ABCD参考答案：B【考点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质【专题】证明题【分析】先利用函数的对称性，得函数的单调性，再利用函数的对称性，将自变量的值化到同一单调区间上，利用单调性比较大小即可【解答】解：函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且x1时函数f（x）=3x1为单调递增函数，x1时函数f（x）为
2、单调递减函数，且f（）=f（）1，即故选B【点评】本题考查了函数的对称性及其应用，利用函数的单调性比较大小的方法2. 函数的定义域为（A）（B）（C）（D）参考答案：C略3. cABC中，AC=2，BC=1，则=（ ） A. B. C. D.参考答案：B略4. 设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（ ）A. B.C. D. 参考答案：B略5. 设x，y满足约束条件若z=mx+y取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值是（）ABC2D1参考答案：A【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=mx+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标
3、函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数z=mx+y的几何意义是直线mx+yz=0与直线x2y+2=0平行，即两直线的斜率相等即m=，解得m=故选：A6. 已知幂函数f（x）=xa的图象过点（4，2），则f（9）的值为（）A3BC3D参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（4，2）求出函数解析式，再计算f（9）的值【解答】解：幂函数f（x）=xa的图象过点（4，2），所以4=2，解得=，所以f（x）=，
4、所以f（9）=3故选：C【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题目7. 已知三点A、B、C的坐标分别为A(3,0). B(0,3). C(cosa, sina)，若，则的值为=_；参考答案：略8. 若函数为奇函数，且在内是增函数，有，则的解集是（ ）A B C D参考答案：C9. 若P(2，1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A xy10 B2xy30C xy30 D2xy50参考答案：C略10. 下列函数在，）内为增函数的是（A） （B） （C） （D） 参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在ABC中，若，则的最小值为
5、 参考答案：12. 如图，已知ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若，则m+n= 参考答案：【考点】9V：向量在几何中的应用【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量加减法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，这样便可得出m+n的值【解答】解：根据条件，=；又；故答案为：13. 已知扇形的周长是6，中心角是1弧度，则该扇形的面积为_.参考答案：2略14. 已知函数是上的增函数，是其图像上的两点，那么的解集是 参考答案：略15. 设，利用倒序相加法可求得_.参考答案：5分析】由，进而利用倒序求和即可.【详解】由，记，则，所以.所以.故答案为5.16. 设等差
6、数列an的前n项和为Sn，且,则 参考答案：12设等差数列an的公差为d，S13=52，13a1+d=52，化为：a1+6d=4则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=34=12故填12.17. 已知以下五个命题：若则则b=0；若a=0，则=0；若，（其中a、b、c均为非零向量），则b=c；若a、b、c均为非零向量，（一定成立；已知a、b、c均为非零向量，则成立的充要条件是a、b与c同向其中正确命题的序号是_。参考答案：、三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在四棱锥 PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=
7、PC=a（1）求证：PD平面ABCD；（2）求证：平面PAC平面PBD参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出PDDC，PDAD，由此能证明PD平面ABCD（2）推导出PDACACBD从而AC平面PDB，由此能证明平面PAC平面PBD【解答】证明：（1）因为PD=a，DC=a，PC=a，所以PC2=PD2+DC2，所以PDDC，同理可证PDAD，又ADDC=D，所以PD平面ABCD（2）由（1）知PD平面ABCD，所以PDAC而四边形ABCD是正方形，所以ACBD又BDPD=D，所以AC平面PDB因为AC?平面PAC，所以平面PAC平面PBD【点评】本题
8、考查线面垂直、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19. 设等比数列的前项和，首项，公比.(1)证明：；(2)若数列满足，求数列的通项公式；(3)若，记，数列的前项和为，求证：当时，.参考答案：解析：(1)而所以(2), 是首项为,公差为1的等差数列,所以,即.(3) 时, 相减得,又因为,单调递增, 故当时, . 20. （16分）已知函数f（x）=x2+4x+a5，g（x）=m?4x12m+7（1）若函数f（x）在区间1，1上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x11，2，总存在x21，2，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围
9、；（3）若y=f（x）（xt，2）的置于为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为64t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间p，q的长度qp）参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的对称轴，得到函数的单调性，解关于a的不等式组，解出即可；（2）只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，通过讨论m=0，m0，m0的情况，得到函数的单调性，从而确定m的范围即可；（3）通过讨论t的范围，结合函数的单调性以及f（2），f（2）的值，得到关于t的方程，解出即可【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=2，故f
10、（x）在区间1，1递增，函数在区间1，1存在零点，故有，即，解得：0a8，故所求实数a的范围是0，8；（2）若对任意的x11，2，总存在x21，2，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x5，x1，2的值域是0，7，下面求g（x），x1，2的值域，令t=4x1，则t1，4，y=mt2m+7，m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；m0时，g（x）的值域是7m，2m+7，要使0，7?7m，2m+7，只需，解得：m7；m0时，g（x）的值域是2m+7，7m，要使0，7?2m+7，7m，只需，解得：m，综上，m的范围
11、是（，7，+）；（3）由题意得，解得：t，t6时，在区间t，2上，f（t）最大，f（2）最小，f（t）f（2）=t2+4t+4=64t，即t2+8t2=0，解得：t=43或t=4+3（舍去）；6t2时，在区间t，2上，f（2）最大，f（2）最小，f（2）f（2）=16=64t，解得：t=；2t时，在区间t，2上，f（2）最大，f（t）最小，f（2）f（t）=t24t+12=64t，即t2=6，解得：t=或t=，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=43或t=【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，集合思想，是一道综合题21. 若y
12、=cos2x+2psinx+q有最大值9和最小值6，求实数p，q的值参考答案：【考点】三角函数的最值【专题】综合题【分析】先令sinx=t将y=cos2x+2psinx+q转化为关于t且t1，1的一元二次函数，然后求出其对称轴，再对p的值进行讨论从而可确定函数在1，1上的单调性，进而根据其最值可求出p，q的值【解答】解：令sinx=t，t1，1，y=1sin2x+2psinx+qy=（sinxp）2+p2+q+1=（tp）2+p2+q+1y=（tp）2+p2+q+1，对称轴为t=p当p1时，1，1是函数y的递减区间，ymax=y|t=1=（1p）2+p2+q+1=9，ymin=y|t=1=（1p）2+p2+q+1=6，得，与p1矛盾；当p1时，1，1是函数y的递增区间，ymax=y|t=1=2p+q=9，ymin=y|t=1=2p+q=6，得，与p1矛盾；当1p1时，ymax=y|t=p=p2+q+1=9，再当p0，ymin=y|t=1=2p+q=6，得；当p0，ymin=y|t=1=2p+q=6，得【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和一元二次函数的单调性以及最值的问题考查考生的基础知识的综合运用能力22. 已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且当时，若.（1）求证：为奇函数；（2）求证:是上的减函数；（3）求函数在区间上的值域.参考答案：(1)证
