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1、湖南省邵阳市高坪镇中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若向量a(1，2)，b(2，1,2)，a、b的夹角的余弦值为，则的值为()A2 B2C2或 D2或参考答案：C2. 已知角的终边经过点P(-3,4)，则下列计算结论中正确的是 （ ）A B. C. D. 参考答案：A3. 若函数的导函数的图像关于y轴对称，则的解析式可能为A. B. C. D. 参考答案：C【分析】依次对选项求导，再判断导数的奇偶性即可得到答案。【详解】对于A，由可得，则为奇函数，关于原点对称；故A不满足题意；对于B，由可得
2、，则，所以为非奇非偶函数，不关于轴对称，故B不满足题意；对于C，由可得，则为偶函数，关于轴对称，故C满足题意，正确；对于D，由可得，则，所以非奇非偶函数，不关于轴对称，故D不满足题意；故答案选C【点睛】本题主要考查导数的求法，奇偶函数的判定，属于基础题。4. 椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则到F2 的距离为（ ）.ABCD4参考答案：C略5. 函数的定义域是（A） （B） （C） （D）参考答案：B6. “a=1”是“直线a2xy+6=0与直线4x（a3）y+9=0互相垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参
3、考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】由题意需要把1代入直线方程，判断斜率之积是否为1；再由直线垂直的等价条件求出两直线垂直时a的值，再判断充分性和必要性是否成立【解答】解：当a=1时，直线分别为xy+6=0与4x+4y+9=0，则两直线垂直；当直线a2xy+6=0与4x（a3）y+9=0互相垂直时，则有4a2+（a3）=0，解得a=1或，故选A7. 编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为（ ）A120 B.119 C.110 D.109参考答案：D8. 函数的最大值为（ ）A B C D参考答案：A略9
4、. 在各棱长都为的正三棱柱中，M为的中点，则M到BC的距离为（ ）A B C D参考答案：A10. 椭圆 是参数的离心率是A B C D参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=的零点个数是参考答案：2【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论【解答】解：当x0时，由f（x）=0得x22=0，解得x=或x=（舍去），当x0时，由f（x）=0得2x6+lnx=0，即lnx=62x，作出函数y=lnx和y=62x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，故函数f（x）的零点个数为2
5、，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解12. 已知双曲线C的离心率为2，左右焦点分别为、，点A在C上，若，则 参考答案： 13. 在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如图所示），而DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 .参考答案：略14. 定义一种集合运算x|且,设M=x|x|2,N=x|,则用区间表示为_参考答案：(-2,12,3)【分析】由，可得，再利用，即可求得答案【详解】，故答案为【点睛】本题
6、主要考查了集合的交集，并集和补集的混合运算，属于基础题。解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用。15. 若实数a，b满足a+b=2，则2a+2b的最小值是 参考答案：4【考点】基本不等式【分析】直接利用a+b即可求出最小值【解答】解：a+b=22a+2b2=2=4当且仅当a=b=1时等式成立故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式的应用以及指数幂运算知识点，属基础题16. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_参考答案：解：设抛物线C的方程为y2ax，直线yx与抛物线C两交点的坐标为A(x1，
7、y2)，B(x2，y2)，则有整理得，a4.所求抛物线方程为y24x.答案：y24x17. 原点和点（1，1）在直线两侧，则的取值范围是_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知矩形ABCD的两条对角线的交点为,点,（）求直线BC和直线CD的方程；（）若平面上动点P满足，求点P的轨迹方程参考答案：（）由已知得，4分D点坐标为(1,0)，直线BC的方程为，即；直线CD的方程，即7分（）设，由得，,12分化简整理得：，14分即，也就是14分19. 已知函数（其中）.（1）讨论函数f(x)的极值；（2）对任意，成立，求实数a的取值
8、范围.参考答案：(1) 当时，无极值；当时，有极大值，无极小值；(2) .【分析】（1）先对函数求导，分别讨论，两种情况，用导数方法研究函数的单调性，即可得出结果；（2）根据（1）中结果，求出的最大值，由对任意，成立，得到在上恒成立，令，用导数的方法研究其单调性，进而可求出结果.【详解】（1）的定义域为又当时，在上，是减函数；无极值； 当时，得在上，是增函数；在上，是减函数，所以当时，有极大值，无极小值，综合知：当时，无极值；当时，有极大值，无极小值；（2）由（1）知：当，是增函数，又令，不成立；当时，当时，取得极大值也是最大值，所以要使得对任意，成立，即：在上恒成立，则在上恒成立，令所以令，
9、得在上，是增函数，在上，是减函数，所以当时，取得极大值也是最大值，在上，是减函数，又要使得恒成立，则.所以实数的取值范围为【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值等，属于常考题型.20. 已知p：x2或x10；q：1mx1+m2；?p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由已知p：x2，或x10，我们可求出?p对应的x的取值范围，再由；?p是q的充分而不必要条件，我们根据充要条件的集合法判断规则，可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围【解答】解：p：x2，或x
10、10；q：1mx1+m2?p：2x10?p?q又q 推不出?pm3m的取值范围为（3，+）21. 某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四个小组的频率以及频率分布直方图中第四个小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分参考答案：【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数【分析】（1）第四小组分数在70，80）内的频率为，即可求出第四个小矩形的高，（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分
11、【解答】解：（1）第四小组分数在70，80）内的频率为：1（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）10=0.30 则第四个小矩形的高为=0.03，（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）10=0.75，故这次考试的及格率约为75%，由450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05=71，得本次考试中的平均分约为71：22. 已知xR，用反证法证明：+参考答案：【考点】FD：反证法的应用【专题】38 ：对应思想；4D ：反证法；5T ：不等式【分析】假设，两边平方化简即可得出，于是1512，得出矛盾，于是假设错误，原结论成立【解答】证明：假设，则（）2（）2，8+28+2，两边平方得1512，与1512矛盾，假设不成立，+【点评】本题考查了反证法证明不等式，属于基础题
