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1、浙江省台州市景宁职业中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知数列an满足:a1=1,an+1=(nN*)若bn+1=(n)(+1),b1=,且数列bn是单调递增数列,则实数的取值范为()A2B3C2D3参考答案:C【考点】数列递推式;数列的函数特性【分析】,分别令n=1,2,3,依次求出a2=,a3=,a4=,由此猜想an=,并用用数学归纳法证明由an=知bn+1=(n)(+1)=(n)?2n,再由b1=,数列bn是单调递增数列,能求出的取值范围【解答】解:,a2=,a3=,a4=,由此
2、猜想an=用数学归纳法证明:当n=1时, =1,成立;假设n=k时,等式成立,即,则当n=k=1时,ak+1=,成立an=bn+1=(n)(+1)=(n)?2n,b2=(1)?2=22,b1=,数列bn是单调递增数列,b1=b2=22,解得2故选C2. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上若轴,则点到轴的距离为()A B3 C . D. 参考答案:A3. 在ABC中,下列关系中一定成立的是()AabsinABa=bsinACabsinADabsinA参考答案:D略4. 一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球O的球面上,球O的表面积是()A2B4C8D16参考答案:C【考点】由三视图求面积
3、、体积【分析】几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为等腰直角三角形,取O为SC的中点,可证OS=OC=OA=OB,由此求得外接球的半径,代入球的表面积公式计算【解答】解:由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,高为2,底面为等腰直角三角形,如图:SA平面ABC,SA=2,AC的中点为D,在等腰直角三角形SAC中,取O为SC的中点,OS=OC=OA=OB,O为三棱锥外接球的球心,R=,外接球的表面积S=4=8故选:C【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,判断几何体的特征性质及数据所对应的几何量是关键5. 设椭圆的一个焦点为,且a=2b,则椭圆的标准方
4、程为()A =1B =1C =1D =1参考答案:A【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知可设椭圆的标准方程为,根据a,b,c之间的关系,可得椭圆的标准方程【解答】解:a=2b,椭圆的一个焦点为,设椭圆的标准方程为,a2b2=3b2=3,故椭圆的标准方程为,故选:A6. 函数f(x)=x3+ax2x1在R上不单调,则实数a的取值范围是()A(,+)B(,)(,+)C, D(,)参考答案:B【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数,由题意得函数的导数在R上至少有一个零点,主要不能有两个相等的零点,即可求出实数a的取值范围【解答】解:f(x)=x3+ax2x1,f(x)=3x2+2ax
5、1,若函数f(x)=x3+ax2x1在R上不是单调函数f(x)=3x2+2ax1=0有两个不等的根,即=4a2120,解得a,或a,故选:B7. 二项式展开式中的常数项为( )A-1320 B1320 C.-220 D220参考答案:C8. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( ) A B C D参考答案:B略9. 在平面直角坐标系中,记曲线C为点的轨迹,直线与曲线C交于A,B两点,则的最小值为( )A. 2B. C. D. 4参考答案:B【分析】先由题意得到曲线的方程,根据题意得到,当圆的圆心到直线
6、距离最大时,弦长最小,再由弦长(其中为圆半径),即可求出结果.【详解】因为曲线为点的轨迹,设,则有,消去参数,可得曲线的方程为;即曲线是以为圆心,以为半径的圆;易知直线恒过点,且在圆内;因此,无论取何值,直线与曲线均交于两点;所以,当圆的圆心到直线距离最大时,弦长最小;又圆心到直线距离为当且仅当时,等号成立,即;所以.故选B【点睛】本题主要考查求圆的弦长的最值问题,熟记直线与圆位置关系,以及几何法求弦长即可,属于常考题型.10. 若对于实数x,y有,则的最大值是 ()A. 5B. 6C. 7D. 8参考答案:C【分析】将表示成,利用绝对值三角不等式得到答案.【详解】当或是等号成立.故答案选C【
7、点睛】本题考查了绝对值三角不等式,将表示成是解题的关键.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如下图所示,现规定不低于70分为合格,则合格人数是 _. 参考答案:60012. 用数学归纳法证明:“”,在验证成立时,左边计算所得的结果是 参考答案:用数学归纳法证明“, ()”时,在验证成立时,将代入,左边以1即开始,以结束,所以左边应该是.13. 一个长方体的长、宽、高之比为2:1:3,全面积为88cm2,则它的体积为_参考答案:48 cm14. 以双曲线的左焦点为焦点的抛物线标准方程是 参考答案:1
8、5. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作与平面ACD1平行的截面,则截得的三角形中,面积最大的值是_;截得的平面图形中,面积最大的值是_。参考答案:2;316. 参考答案: 略17. 已知数列an满足a1=1,an+1=an+2n1(nN*),则an=参考答案:n22n+2【考点】数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知利用an=(anan1)+(an1an2)+(a2a1)+a1即可得出【解答】解:a1=1,an+1=an+2n1(nN*),an=(anan1)+(an1an2)+(a2a1)+a1=(2n3)+(2n5)+1+1=+1=n22n+2故答
9、案为:n22n+2【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B已知|AB|=|F1F2|(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】(1)由题意设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0),结合|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,再结合隐含条件b
10、2=a2c2得到a,c的关系式,则椭圆的离心率可求;(2)由题意设出椭圆方程为设P(x0,y0)由F1(c,0),B(0,c),求得,的坐标,利用=0得到(x0+c)c+y0c=0,从而得到x0+y0+c=0再由点P在椭圆上,得到两式联立得到3x20+4cx0=0根据点P不是椭圆的顶点得到x0=c进一步得到y0=,再设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=c,y1=c,求出圆的半径r再由直线l与圆相切列式求得k的值【解答】解:(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2又b2=a2c2,则2a2=4c2,椭圆的离心率e=;(2)由(1)知a2=2c2,
11、b2=c2故椭圆方程为设P(x0,y0)由F1(c,0),B(0,c),得=(x0+c,y0),=(c,c)由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0又c0,故有x0+y0+c=0又点P在椭圆上,由和可得3x20+4cx0=0而点P不是椭圆的顶点,故x0=c代入得y0=,即点P的坐标为(,)设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=c,y1=c,进而圆的半径r=c设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx由l与圆相切,可得,即,整理得k28k+1=0,解得k=4,直线l的斜率为4+或419. 如图,圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧),且|MN
12、|=3()求圆C的方程;()过点M任作一条直线与椭圆: =1相交于两点A、B,连接AN、BN,求证:ANM=BNM参考答案:【考点】直线和圆的方程的应用【分析】()设圆C的半径为r(r0),由|MN|=3可得,从而求圆C的方程;()求出点M(1,0),N(4,0),讨论当ABx轴时与AB与x轴不垂直时ANM是否相等BNM,从而证明【解答】解:()设圆C的半径为r(r0),则圆心坐标为(r,2)|MN|=3,解得圆C的方程为()证明:把y=0代入方程,解得x=1,或x=4,即点M(1,0),N(4,0)(1)当ABx轴时,由椭圆对称性可知ANM=BNM(2)当AB与x轴不垂直时,可设直线AB的方
13、程为y=k(x1)联立方程,消去y得,(k2+2)x22k2x+k28=0设直线AB交椭圆于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则,y1=k(x11),y2=k(x21),=,kAN+kBN=0,ANM=BNM综上所述,ANM=BNM20. 如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,且,E是PC的中点,作交PB于点F.(1)证明 平面;(2)证明平面EFD;(3)(只文科做)直线BE与底面ABCD所成角的正切值;(3)(只理科做)求二面角的大小参考答案:(1)连结AC,BD,连结OE(2)(3)文答案取DC的中点M,连结BM(3)理科答案由(2)知与相似21. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为(1)写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程;(2)点P是直线l上的,求点P 的坐标,使P 到圆心C 的距离最小