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1、浙江省台州市景宁职业中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列an满足：a1=1，an+1=（nN*）若bn+1=（n）（+1），b1=，且数列bn是单调递增数列，则实数的取值范为（）A2B3C2D3参考答案：C【考点】数列递推式；数列的函数特性【分析】，分别令n=1，2，3，依次求出a2=，a3=，a4=，由此猜想an=，并用用数学归纳法证明由an=知bn+1=（n）（+1）=（n）?2n，再由b1=，数列bn是单调递增数列，能求出的取值范围【解答】解：，a2=，a3=，a4=，由此
2、猜想an=用数学归纳法证明：当n=1时， =1，成立；假设n=k时，等式成立，即，则当n=k=1时，ak+1=，成立an=bn+1=（n）（+1）=（n）?2n，b2=（1）?2=22，b1=，数列bn是单调递增数列，b1=b2=22，解得2故选C2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上若轴，则点到轴的距离为()A B3 C . D. 参考答案：A3. 在ABC中，下列关系中一定成立的是（）AabsinABa=bsinACabsinADabsinA参考答案：D略4. 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）A2B4C8D16参考答案：C【考点】由三视图求面积
3、、体积【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为等腰直角三角形，取O为SC的中点，可证OS=OC=OA=OB，由此求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，底面为等腰直角三角形，如图：SA平面ABC，SA=2，AC的中点为D，在等腰直角三角形SAC中，取O为SC的中点，OS=OC=OA=OB，O为三棱锥外接球的球心，R=，外接球的表面积S=4=8故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，判断几何体的特征性质及数据所对应的几何量是关键5. 设椭圆的一个焦点为，且a=2b，则椭圆的标准方
4、程为（）A =1B =1C =1D =1参考答案：A【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知可设椭圆的标准方程为，根据a，b，c之间的关系，可得椭圆的标准方程【解答】解：a=2b，椭圆的一个焦点为，设椭圆的标准方程为，a2b2=3b2=3，故椭圆的标准方程为，故选：A6. 函数f（x）=x3+ax2x1在R上不单调，则实数a的取值范围是（）A（，+）B（，）（，+）C， D（，）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，由题意得函数的导数在R上至少有一个零点，主要不能有两个相等的零点，即可求出实数a的取值范围【解答】解：f（x）=x3+ax2x1，f（x）=3x2+2ax
5、1，若函数f（x）=x3+ax2x1在R上不是单调函数f（x）=3x2+2ax1=0有两个不等的根，即=4a2120，解得a，或a，故选：B7. 二项式展开式中的常数项为（ ）A-1320 B1320 C.-220 D220参考答案：C8. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为( ) A B C D参考答案：B略9. 在平面直角坐标系中，记曲线C为点的轨迹，直线与曲线C交于A，B两点，则的最小值为( )A. 2B. C. D. 4参考答案：B【分析】先由题意得到曲线的方程，根据题意得到，当圆的圆心到直线
6、距离最大时，弦长最小，再由弦长（其中为圆半径），即可求出结果.【详解】因为曲线为点的轨迹，设，则有，消去参数，可得曲线的方程为；即曲线是以为圆心，以为半径的圆；易知直线恒过点，且在圆内；因此，无论取何值，直线与曲线均交于两点；所以，当圆的圆心到直线距离最大时，弦长最小；又圆心到直线距离为当且仅当时，等号成立，即；所以.故选B【点睛】本题主要考查求圆的弦长的最值问题，熟记直线与圆位置关系，以及几何法求弦长即可，属于常考题型.10. 若对于实数x，y有，则的最大值是 ()A. 5B. 6C. 7D. 8参考答案：C【分析】将表示成，利用绝对值三角不等式得到答案.【详解】当或是等号成立.故答案选C【
7、点睛】本题考查了绝对值三角不等式，将表示成是解题的关键.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 _. 参考答案：60012. 用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得的结果是 参考答案：用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.13. 一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm2，则它的体积为_参考答案：48 cm14. 以双曲线的左焦点为焦点的抛物线标准方程是 参考答案：1
8、5. 在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_；截得的平面图形中，面积最大的值是_。参考答案：2；316. 参考答案： 略17. 已知数列an满足a1=1，an+1=an+2n1（nN*），则an=参考答案：n22n+2【考点】数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知利用an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1即可得出【解答】解：a1=1，an+1=an+2n1（nN*），an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=（2n3）+（2n5）+1+1=+1=n22n+2故答
9、案为：n22n+2【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B已知|AB|=|F1F2|（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由题意设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0），结合|AB|=|F1F2|，可得a2+b2=3c2，再结合隐含条件b
10、2=a2c2得到a，c的关系式，则椭圆的离心率可求；（2）由题意设出椭圆方程为设P（x0，y0）由F1（c，0），B（0，c），求得，的坐标，利用=0得到（x0+c）c+y0c=0，从而得到x0+y0+c=0再由点P在椭圆上，得到两式联立得到3x20+4cx0=0根据点P不是椭圆的顶点得到x0=c进一步得到y0=，再设圆的圆心为T（x1，y1），则x1=c，y1=c，求出圆的半径r再由直线l与圆相切列式求得k的值【解答】解：（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）由|AB|=|F1F2|，可得a2+b2=3c2又b2=a2c2，则2a2=4c2，椭圆的离心率e=；（2）由（1）知a2=2c2，
11、b2=c2故椭圆方程为设P（x0，y0）由F1（c，0），B（0，c），得=（x0+c，y0），=（c，c）由已知，有=0，即（x0+c）c+y0c=0又c0，故有x0+y0+c=0又点P在椭圆上，由和可得3x20+4cx0=0而点P不是椭圆的顶点，故x0=c代入得y0=，即点P的坐标为（，）设圆的圆心为T（x1，y1），则x1=c，y1=c，进而圆的半径r=c设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx由l与圆相切，可得，即，整理得k28k+1=0，解得k=4，直线l的斜率为4+或419. 如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧），且|MN
12、|=3（）求圆C的方程；（）过点M任作一条直线与椭圆： =1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：ANM=BNM参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（）设圆C的半径为r（r0），由|MN|=3可得，从而求圆C的方程；（）求出点M（1，0），N（4，0），讨论当ABx轴时与AB与x轴不垂直时ANM是否相等BNM，从而证明【解答】解：（）设圆C的半径为r（r0），则圆心坐标为（r，2）|MN|=3，解得圆C的方程为（）证明：把y=0代入方程，解得x=1，或x=4，即点M（1，0），N（4，0）（1）当ABx轴时，由椭圆对称性可知ANM=BNM（2）当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方
13、程为y=k（x1）联立方程，消去y得，（k2+2）x22k2x+k28=0设直线AB交椭圆于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则，y1=k（x11），y2=k（x21），=，kAN+kBN=0，ANM=BNM综上所述，ANM=BNM20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，且，E是PC的中点，作交PB于点F.（1）证明 平面；（2）证明平面EFD；（3）（只文科做）直线BE与底面ABCD所成角的正切值；（3）（只理科做）求二面角的大小参考答案：（1）连结AC，BD，连结OE(2)（3）文答案取DC的中点M，连结BM（3）理科答案由（2）知与相似21. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小
