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1、上海市浦南中学高二数学文摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若等差数列中，则（ ）A2 B1 C D或 参考答案：B2. 的展开式中的系数是（ ） A B C3 D4 参考答案：B3. 设函数的导函数为，且，则等于 （ ）A B C D参考答案：B4. 已知A，B，C，D四点在同一个球的球面上，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32参考答案：C【分析】由底面积不变,可得高最大时体积最大,即与面垂直时体积最大, 设球心为,半径为,在直角中,利用勾股定理列
2、方程求出半径，即可求出球的表面积.【详解】根据,可得直角三角形的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上,设小圆的圆心为, 由于底面积不变,高最大时体积最大,所以与面垂直时体积最大,最大值为为,即,如图,设球心为,半径为,则在直角中,即,则这个球的表面积为,故选C.【点睛】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质.5. 定义在上的函数偶函数满足，且时，；函数，则函数在区间内的
3、零点的个数是（ ）A B C D参考答案：A6. 已知点是边长为1的等边三角形ABC的中心，则( )A. B. C. D. 参考答案：D7. 已知：方程的一根在上，另一根在上，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、参考答案：D提示：，由题得，转化为线性规划问题。8. 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A） （B） （C） （D）参考答案：解析：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有种.9. 若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形，则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D
4、) 参考答案：D略10. 已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，则侧视图的面积为()A4 B2 C2 D.参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等差数列中， .参考答案：7212. 在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（ab0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为 参考答案：1【考点】椭圆的简单性质【分析】由C为OF的中点，则OM为FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=c，PFO=60，FPO为等边三角形，边
5、长为c，P（c， c），代入椭圆方程： +=1，由b2=a2c2，e=，0e1，即可求得椭圆的离心率【解答】解：由题意可知：C为OF的中点，则OM为FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，且直线PF的斜率为，则PFO=60，FPO为等边三角形，边长为c，则P（c， c），代入椭圆方程： +=1，由b2=a2c2，e=，则e48e2+4=0，解得：e2=42，由0e1，解得：e=1，椭圆的离心率1，故答案为：1【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，三角形中位线的性质，考查数形结合思想，属于中档题13. 直线为双曲线的一条渐近线，则的值为_参考答案：14. 若函数是
6、函数的反函数，则 。参考答案：15. 给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是 参考答案：从运行到步长为，运行次数为49916. 已知四个数成等差数列，成等比数列，则= 。参考答案：略17. 展开式中的系数是 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/C101113128发芽数
7、y/颗2325302616（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）参考答案：【考点】回归分析的初步应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m，n的所有取值情况，分析可得m，n均不小于25的情况数目
8、，由古典概型公式，计算可得答案；（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的【解答】解：（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，m，n的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个设“m，n均不小于25”为事件A，则包含的基
9、本事件有（25，30），（25，26），（30，26）所以，故事件A的概率为（2）由数据得，由公式，得，所以y关于x的线性回归方程为（3）当x=10时，|2223|2，当x=8时，|1716|2所以得到的线性回归方程是可靠的19. （本小题满分10分）已知函数（） 当时，解不等式；（）当时恒成立，求的取值范围参考答案：（1） 5分（2） 10分（如有不同解法，请酌情给分）20. (本小题满分12分)一装有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不计),上下底面均为边长为5的正三角形,侧棱为10,侧面AA1B1B水平放置,如图所示,点D、E、F、G分别在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,
10、水面恰好过点D，E，F，C,且CD=2.(1)证明:DEAB;()若底面ABC水平放置时,求水面的高参考答案：（I）证明：因为直三棱柱容器侧面水平放置，所以平面平面，因为平面平面，平面平面，所以6分（II）当侧面水平放置时，可知液体部分是直四棱柱，其高即为直三棱柱容器的高，即侧棱长10.由（I）可得，又，所以.9分当底面水平放置时，设水面的高为，由于两种状态下水的体积相等，所以，即，解得.12分21. 设函数（I）当时，求的最小值； （II）如果，解不等式：参考答案：解：（I）根据题意将绝对值符号去掉得分段函数： .4分作出函数的图象如图，由图象可知，函数的最小值为3 .6分（II）当，8当9当10原不等式的解集为：1222. 如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P、Q分别为AE、AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值参考答案：解：(1)证明：因为P、Q分别为AE、AB的中点，所以PQEB.又DCEB，因此PQDC，PQ?平面ACD，从而PQ平面ACD. （4分）(2)如图，连结CQ、DP.因为Q为AB的中点，且ACBC，所以CQAB.因为DC平面ABC，EBDC，所以EB平面ABC，因此CQEB，又EBABB，故CQ平面ABE.由(1)有PQDC，略
