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1、浙江省台州市箬横中学高二数学文下学期摸底试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知,当取最小值时,的值等于( )ABC19D参考答案:A 2. 数列1,3,6,10,的一个通项公式是 ( )A.an=n2-(n-1)B. an=n2-1 C.an= D.an=参考答案:C3. 设曲线y=x2+1在点(x,f(x)处的切线的斜率为g(x),则函数y=g(x)cosx的部分图象可以为()ABCD参考答案:A【考点】3O:函数的图象【分析】先研究函数y=g(x)cosx的奇偶性,再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判
2、定【解答】解:g(x)=2x,g(x)?cosx=2x?cosx,g(x)=g(x),cos(x)=cosx,y=g(x)cosx为奇函数,排除B、D令x=0.10故选:A4. 已知双曲线E的中心为原点,P(3,0)是E的焦点,过P的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则E的方程式为()ABCD参考答案:B【考点】双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题【分析】已知条件易得直线l的斜率为1,设双曲线方程,及A,B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=24,根据=,可求得a和b的关系,再根据c=3,求得a和b,进而可得答案【解答】解:由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN
3、=1,设双曲线方程为,A(x1,y1),B(x2,y2),则有,两式相减并结合x1+x2=24,y1+y2=30得=,从而=1即4b2=5a2,又a2+b2=9,解得a2=4,b2=5,故选B5. 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y28x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是()A BCD参考答案:A【考点】直线与圆的位置关系【分析】化圆C的方程为(x4)2+y2=1,求出圆心与半径,由题意,只需(x4)2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可【解答】解:圆C的方程为x2+y28x+15=0,整理得:(x4)2+
4、y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需圆C:(x4)2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可设圆心C(4,0)到直线y=kx+2的距离为d,则d=2,即3k24k,k0k的最小值是故选A6. 设ABC的三内角A、B、C成等差数列,sinA、sinB、sinC成等比数列,则这个三角形的形状是()A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形参考答案:D【考点】数列与三角函数的综合;三角形的形状判断【分析】先由ABC的三内角A、B、C成等差数列,求得B=60,A+C=120;再由sinA、si
5、nB、sinC成等比数列,得sin2B=sinA?sinC,结合即可判断这个三角形的形状【解答】解:ABC的三内角A、B、C成等差数列,B=60,A+C=120;又sinA、sinB、sinC成等比数列,sin2B=sinA?sinC=,由得:sinA?sin(120A)=sinA?(sin120cosAcos120sinA)=sin2A+?=sin2Acos2A+=sin(2A30)+=,sin(2A30)=1,又0A120A=60故选D【点评】本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得B=60,A+C=120,再利用三角公式转化,着重考查分析与转化的能力,属于中档题7. 采用系统抽样方法从
6、960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中,做问卷的人数为 ()A7 B9 C10 D15参考答案:C略8. 双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m=( ) A 1 B2 C3 D4参考答案:D9. 已知函数若,则实数x的取值范围是( )A BCD参考答案:D略10. 已知函数,其导函数的图象如下图,则对于函数的描述正确的是A. 在上为减函数 B. 在上为减函数C. 在处取得最大值 D. 在处取得最小值参考答案:
7、B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设向量a(cos 25,sin 25),b(sin 20,cos 20),若t是实数,且uat b,则|u|的最小值为_参考答案:12. 在极坐标系中,点到圆2cos的圆心的距离为_参考答案:略13. 已知a0且a1,关于x的方程|ax1|=5a4有两个相异实根,则a的取值范围是参考答案:【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】先画出a1和0a1时的两种图象,根据图象可直接得出答案【解答】解:据题意,函数y=|ax1|(a0,a1)的图象与直线y=5a4有两个不同的交点当a1时,05a41,所以a(,1),舍去当0a1时由图知,05a
8、41,所以a(,1),故答案为:14. 两个球的表面积之比是116,这两个球的体积之比为_.参考答案:164略15. 从棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面),所得几何体的表面积是 .参考答案:16. 在ABC中,A、B、C是三个内角,C =30,那么的值是_。.参考答案:略17. 在ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,若c=4,tanA=3,cosC=,求ABC面积参考答案:6【考点】正弦定理【分析】根据cosC可求得sinC和tanC,根据tanB=tan(A+C),可求得tanB,进而求得B由正弦定理可求得b,根据sinA=sin(B+C)求
9、得sinA,进而根据三角形的面积公式求得面积【解答】解:cosC=,sinC=,tanC=2,tanB=tan(A+C)=1,又0B,B=,由正弦定理可得b=,由sinA=sin(B+C)=sin(+C)得,sinA=,ABC面积为: bcsinA=6故答案为:6三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 为了保护环境,某工厂在政府部门的支持下,进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:,且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品()当x30,50时,判断该技术改进能
10、否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损?()当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少参考答案:【考点】函数最值的应用【分析】()利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品,及处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系,可得利润函数,利用配方法,即可求得结论;()求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数,再分段求出函数的最值,比较其大小,即可求得结论【解答】解:()当x30,50时,设该工厂获利为S,则S=20x(x240x+1600)=(x30)2700所以当x30,50时,S0,因此,该工厂不会获利,所以国家至少需要
11、补贴700万元,才能使工厂不亏损 ()由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:当x10,30)时,P(x)=,P(x)=x10,20)时,P(x)0,P(x)为减函数;x(20,30)时,P(x)0,P(x)为增函数,x=20时,P(x)取得最小值,即P(20)=48;当x30,50时,P(x)=4040=40当且仅当x=,即x=4030,50时,P(x)取得最小值P(40)=404840,当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少【点评】本题考查函数模型的构建,考查函数最值的求解,正确运用求函数最值的方法是关键19. 已知函数和()若,求证的图像永远在图像的上方 ()若和的图像有公共点,且
12、在点处的切线相同,求的取值范围参考答案:()证明见解析()()若,有,令,当时,单调递增,当时,单调递减,可得在处取得极小值,且为最小值,且, 即有恒成立,则的图象在图象上方()设的坐标为,且,消去,可得, 可得, 令, 当时,递增,当时,递减 可得在处取得极小值,且为最小值,20. (12分)已知(3x2)n的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992求:(1)展开式中二项式系数最大的项;(2)展开式中系数最大的项参考答案:令x1,则展开式中各项系数和为(13)n22n,又展开式中二项式系数和为2n,22n2n992,即n5(1)n5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、四两项,T3
13、(3x2)290x6,T4(3x2)3(2)设展开式中第r1项系数最大,则Tr1()5r(3x2)r3r,于是因此r4,即展开式中第5项系数最大,。X。KT5(3x2)421. (本小题满分12分)如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,是的中点(1)求点到面的距离;(2)求异面直线与所成角的余弦值;(3)求二面角的余弦值参考答案:方法一:(1)以为原点,、分别为、轴建立空间直角坐标系.则有、设平面的法向量为则由由,则点到面的距离为4分所以异面直线与所成的角余弦值为2/5.8分(3)设平面的法向量为则由知:由知:取由(1)知平面的法向量为则.结合图形可知,二面角的余弦值为.12分方法二:(1)取的中点,连、则面,的长就是所要求的距离.、,在直角三角形中,有4分(另解:由(2)取的中点,连、,则是异面直